Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108425 / 42569
↖ ↑ ↗
← N 53.210967°
E117.798157°		 ← 182.87 m → N 53.210967°
E117.800903°		 →
↑
182.91 m
↓
↑
182.91 m
↓
N 53.209322°
E117.798157°		 ← 182.88 m →
33 450 m²		 N 53.209322°
E117.800903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827220916748047 y=0.324779510498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827220916748047 × 217)
    floor (0.827220916748047 × 131072)
    floor (108425.5)     		tx = 108425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324779510498047 × 217)
    floor (0.324779510498047 × 131072)
    floor (42569.5)     		ty = 42569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108425 / 42569 ti = "17/108425/42569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108425/42569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108425 ÷ 217
    108425 ÷ 131072     		x = 0.827217102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42569 ÷ 217
    42569 ÷ 131072     		y = 0.324775695800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827217102050781 × 2 - 1) × π
    0.654434204101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.05596569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324775695800781 × 2 - 1) × π
    0.350448608398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.10096677357383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05596569} λ = 2.05596569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10096677357383))-π/2
    2×atan(3.00707177664592)-π/2
    2×1.24975145282116-π/2
    2.49950290564232-1.57079632675     		φ = 0.92870658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05596569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.798157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92870658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.210967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108425 KachelY 42569 2.05596569 0.92870658 117.798157 53.210967
    Oben rechts KachelX + 1 108426 KachelY 42569 2.05601362 0.92870658 117.800903 53.210967
    Unten links KachelX 108425 KachelY + 1 42570 2.05596569 0.92867787 117.798157 53.209322
    Unten rechts KachelX + 1 108426 KachelY + 1 42570 2.05601362 0.92867787 117.800903 53.209322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92870658-0.92867787) × R
    2.87099999999318e-05 × 6371000     		dl = 182.911409999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92870658-0.92867787) × R
    2.87099999999318e-05 × 6371000     		dr = 182.911409999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05596569-2.05601362) × cos(0.92870658) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598870313193429 × 6371000     		do = 182.872254543593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05596569-2.05601362) × cos(0.92867787) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59889330523585 × 6371000     		du = 182.879275440341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92870658)-sin(0.92867787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598870313193429-0.59889330523585)×R²
    abs(2.05601362-2.05596569)×2.29920424213992e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29920424213992e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29920424213992e-05×40589641000000     		ar = 33450.0640317533m²