Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108425 / 42566
↖ ↑ ↗
← N 53.215902°
E117.798157°		 ← 182.85 m → N 53.215902°
E117.800903°		 →
↑
182.91 m
↓
↑
182.91 m
↓
N 53.214257°
E117.798157°		 ← 182.86 m →
33 446 m²		 N 53.214257°
E117.800903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827220916748047 y=0.324756622314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827220916748047 × 217)
    floor (0.827220916748047 × 131072)
    floor (108425.5)     		tx = 108425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324756622314453 × 217)
    floor (0.324756622314453 × 131072)
    floor (42566.5)     		ty = 42566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108425 / 42566 ti = "17/108425/42566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108425/42566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108425 ÷ 217
    108425 ÷ 131072     		x = 0.827217102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42566 ÷ 217
    42566 ÷ 131072     		y = 0.324752807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827217102050781 × 2 - 1) × π
    0.654434204101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.05596569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324752807617188 × 2 - 1) × π
    0.350494384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10111058427269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05596569} λ = 2.05596569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10111058427269))-π/2
    2×atan(3.00750425683654)-π/2
    2×1.24979451232067-π/2
    2.49958902464134-1.57079632675     		φ = 0.92879270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05596569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.798157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92879270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.215902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108425 KachelY 42566 2.05596569 0.92879270 117.798157 53.215902
    Oben rechts KachelX + 1 108426 KachelY 42566 2.05601362 0.92879270 117.800903 53.215902
    Unten links KachelX 108425 KachelY + 1 42567 2.05596569 0.92876399 117.798157 53.214257
    Unten rechts KachelX + 1 108426 KachelY + 1 42567 2.05601362 0.92876399 117.800903 53.214257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92879270-0.92876399) × R
    2.87100000000429e-05 × 6371000     		dl = 182.911410000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92879270-0.92876399) × R
    2.87100000000429e-05 × 6371000     		dr = 182.911410000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05596569-2.05601362) × cos(0.92879270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598801342113452 × 6371000     		do = 182.8511933946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05596569-2.05601362) × cos(0.92876399) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598824335636527 × 6371000     		du = 182.858214743483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92879270)-sin(0.92876399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598801342113452-0.598824335636527)×R²
    abs(2.05601362-2.05596569)×2.29935230745548e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29935230745548e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29935230745548e-05×40589641000000     		ar = 33446.2117487711m²