Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108424 / 42564
↖ ↑ ↗
← N 53.219191°
E117.795410°		 ← 182.88 m → N 53.219191°
E117.798157°		 →
↑
182.91 m
↓
↑
182.91 m
↓
N 53.217546°
E117.795410°		 ← 182.88 m →
33 451 m²		 N 53.217546°
E117.798157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827213287353516 y=0.324741363525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827213287353516 × 217)
    floor (0.827213287353516 × 131072)
    floor (108424.5)     		tx = 108424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324741363525391 × 217)
    floor (0.324741363525391 × 131072)
    floor (42564.5)     		ty = 42564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108424 / 42564 ti = "17/108424/42564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108424/42564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108424 ÷ 217
    108424 ÷ 131072     		x = 0.82720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42564 ÷ 217
    42564 ÷ 131072     		y = 0.324737548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82720947265625 × 2 - 1) × π
    0.6544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05591775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324737548828125 × 2 - 1) × π
    0.35052490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10120645807193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05591775} λ = 2.05591775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10120645807193))-π/2
    2×atan(3.00779261151848)-π/2
    2×1.24982321589855-π/2
    2.4996464317971-1.57079632675     		φ = 0.92885011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05591775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.795410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92885011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.219191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108424 KachelY 42564 2.05591775 0.92885011 117.795410 53.219191
    Oben rechts KachelX + 1 108425 KachelY 42564 2.05596569 0.92885011 117.798157 53.219191
    Unten links KachelX 108424 KachelY + 1 42565 2.05591775 0.92882140 117.795410 53.217546
    Unten rechts KachelX + 1 108425 KachelY + 1 42565 2.05596569 0.92882140 117.798157 53.217546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92885011-0.92882140) × R
    2.87099999999318e-05 × 6371000     		dl = 182.911409999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92885011-0.92882140) × R
    2.87099999999318e-05 × 6371000     		dr = 182.911409999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05591775-2.05596569) × cos(0.92885011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598755361595931 × 6371000     		do = 182.875299394285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05591775-2.05596569) × cos(0.92882140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598778356105955 × 6371000     		du = 182.882322509525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92885011)-sin(0.92882140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598755361595931-0.598778356105955)×R²
    abs(2.05596569-2.05591775)×2.2994510024521e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2994510024521e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2994510024521e-05×40589641000000     		ar = 33450.6211725021m²