Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108424 / 100108
↖ ↑ ↗
← S 68.411310°
E117.795410°		 ← 112.38 m → S 68.411310°
E117.798157°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
S 68.412321°
E117.795410°		 ← 112.37 m →
12 629 m²		 S 68.412321°
E117.798157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827213287353516 y=0.763767242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827213287353516 × 217)
    floor (0.827213287353516 × 131072)
    floor (108424.5)     		tx = 108424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763767242431641 × 217)
    floor (0.763767242431641 × 131072)
    floor (100108.5)     		ty = 100108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108424 / 100108 ti = "17/108424/100108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108424/100108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108424 ÷ 217
    108424 ÷ 131072     		x = 0.82720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100108 ÷ 217
    100108 ÷ 131072     		y = 0.763763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82720947265625 × 2 - 1) × π
    0.6544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05591775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.52752685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65727449366458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05591775} λ = 2.05591775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65727449366458))-π/2
    2×atan(0.190657911951184)-π/2
    2×0.188396858681031-π/2
    0.376793717362062-1.57079632675     		φ = -1.19400261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05591775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.795410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19400261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.411310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108424 KachelY 100108 2.05591775 -1.19400261 117.795410 -68.411310
    Oben rechts KachelX + 1 108425 KachelY 100108 2.05596569 -1.19400261 117.798157 -68.411310
    Unten links KachelX 108424 KachelY + 1 100109 2.05591775 -1.19402025 117.795410 -68.412321
    Unten rechts KachelX + 1 108425 KachelY + 1 100109 2.05596569 -1.19402025 117.798157 -68.412321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19400261--1.19402025) × R
    1.76399999998189e-05 × 6371000     		dl = 112.384439998846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19400261--1.19402025) × R
    1.76399999998189e-05 × 6371000     		dr = 112.384439998846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05591775-2.05596569) × cos(-1.19400261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367941006114125 × 6371000     		do = 112.378654068677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05591775-2.05596569) × cos(-1.19402025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367924603518118 × 6371000     		du = 112.373644293654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19400261)-sin(-1.19402025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367941006114125-0.367924603518118)×R²
    abs(2.05596569-2.05591775)×1.64025960068814e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64025960068814e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64025960068814e-05×40589641000000     		ar = 12629.3305954488m²