Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108423 / 100171
↖ ↑ ↗
← S 68.474887°
E117.792663°		 ← 112.06 m → S 68.474887°
E117.795410°		 →
↑
112.07 m
↓
↑
112.07 m
↓
S 68.475895°
E117.792663°		 ← 112.06 m →
12 558 m²		 S 68.475895°
E117.795410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827205657958984 y=0.764247894287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827205657958984 × 217)
    floor (0.827205657958984 × 131072)
    floor (108423.5)     		tx = 108423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764247894287109 × 217)
    floor (0.764247894287109 × 131072)
    floor (100171.5)     		ty = 100171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108423 / 100171 ti = "17/108423/100171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108423/100171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108423 ÷ 217
    108423 ÷ 131072     		x = 0.827201843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100171 ÷ 217
    100171 ÷ 131072     		y = 0.764244079589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827201843261719 × 2 - 1) × π
    0.654403686523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.05586981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764244079589844 × 2 - 1) × π
    -0.528488159179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.66029451834064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05586981} λ = 2.05586981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66029451834064))-π/2
    2×atan(0.190082988930227)-π/2
    2×0.187842042708074-π/2
    0.375684085416148-1.57079632675     		φ = -1.19511224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05586981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.792663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19511224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.474887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108423 KachelY 100171 2.05586981 -1.19511224 117.792663 -68.474887
    Oben rechts KachelX + 1 108424 KachelY 100171 2.05591775 -1.19511224 117.795410 -68.474887
    Unten links KachelX 108423 KachelY + 1 100172 2.05586981 -1.19512983 117.792663 -68.475895
    Unten rechts KachelX + 1 108424 KachelY + 1 100172 2.05591775 -1.19512983 117.795410 -68.475895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19511224--1.19512983) × R
    1.75899999999007e-05 × 6371000     		dl = 112.065889999368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19511224--1.19512983) × R
    1.75899999999007e-05 × 6371000     		dr = 112.065889999368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05586981-2.05591775) × cos(-1.19511224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366908991309957 × 6371000     		do = 112.063450183424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05586981-2.05591775) × cos(-1.19512983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366892628035345 × 6371000     		du = 112.058452418167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19511224)-sin(-1.19512983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366908991309957-0.366892628035345)×R²
    abs(2.05591775-2.05586981)×1.63632746122411e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63632746122411e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63632746122411e-05×40589641000000     		ar = 12558.210241926m²