Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108423 / 100109
↖ ↑ ↗
← S 68.412321°
E117.792663°		 ← 112.37 m → S 68.412321°
E117.795410°		 →
↑
112.32 m
↓
↑
112.32 m
↓
S 68.413331°
E117.792663°		 ← 112.37 m →
12 622 m²		 S 68.413331°
E117.795410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827205657958984 y=0.763774871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827205657958984 × 217)
    floor (0.827205657958984 × 131072)
    floor (108423.5)     		tx = 108423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763774871826172 × 217)
    floor (0.763774871826172 × 131072)
    floor (100109.5)     		ty = 100109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108423 / 100109 ti = "17/108423/100109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108423/100109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108423 ÷ 217
    108423 ÷ 131072     		x = 0.827201843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100109 ÷ 217
    100109 ÷ 131072     		y = 0.763771057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827201843261719 × 2 - 1) × π
    0.654403686523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.05586981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763771057128906 × 2 - 1) × π
    -0.527542114257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.6573224305642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05586981} λ = 2.05586981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6573224305642))-π/2
    2×atan(0.190648772621054)-π/2
    2×0.188388039902026-π/2
    0.376776079804053-1.57079632675     		φ = -1.19402025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05586981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.792663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19402025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.412321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108423 KachelY 100109 2.05586981 -1.19402025 117.792663 -68.412321
    Oben rechts KachelX + 1 108424 KachelY 100109 2.05591775 -1.19402025 117.795410 -68.412321
    Unten links KachelX 108423 KachelY + 1 100110 2.05586981 -1.19403788 117.792663 -68.413331
    Unten rechts KachelX + 1 108424 KachelY + 1 100110 2.05591775 -1.19403788 117.795410 -68.413331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19402025--1.19403788) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dl = 112.320730000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19402025--1.19403788) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dr = 112.320730000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05586981-2.05591775) × cos(-1.19402025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367924603518118 × 6371000     		do = 112.373644293654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05586981-2.05591775) × cos(-1.19403788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367908210106245 × 6371000     		du = 112.368637323702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19402025)-sin(-1.19403788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367924603518118-0.367908210106245)×R²
    abs(2.05591775-2.05586981)×1.63934118729836e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63934118729836e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63934118729836e-05×40589641000000     		ar = 12621.6085668052m²