Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108421 / 46237
↖ ↑ ↗
← N 46.745507°
E117.787170°		 ← 209.29 m → N 46.745507°
E117.789917°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
N 46.743625°
E117.787170°		 ← 209.30 m →
43 803 m²		 N 46.743625°
E117.789917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827190399169922 y=0.352764129638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827190399169922 × 217)
    floor (0.827190399169922 × 131072)
    floor (108421.5)     		tx = 108421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352764129638672 × 217)
    floor (0.352764129638672 × 131072)
    floor (46237.5)     		ty = 46237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108421 / 46237 ti = "17/108421/46237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108421/46237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108421 ÷ 217
    108421 ÷ 131072     		x = 0.827186584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46237 ÷ 217
    46237 ÷ 131072     		y = 0.352760314941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827186584472656 × 2 - 1) × π
    0.654373168945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.05577394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352760314941406 × 2 - 1) × π
    0.294479370117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.925134225767464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05577394} λ = 2.05577394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925134225767464))-π/2
    2×atan(2.52220678277954)-π/2
    2×1.19332966809182-π/2
    2.38665933618365-1.57079632675     		φ = 0.81586301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05577394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.787170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81586301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.745507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108421 KachelY 46237 2.05577394 0.81586301 117.787170 46.745507
    Oben rechts KachelX + 1 108422 KachelY 46237 2.05582188 0.81586301 117.789917 46.745507
    Unten links KachelX 108421 KachelY + 1 46238 2.05577394 0.81583016 117.787170 46.743625
    Unten rechts KachelX + 1 108422 KachelY + 1 46238 2.05582188 0.81583016 117.789917 46.743625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81586301-0.81583016) × R
    3.28500000000842e-05 × 6371000     		dl = 209.287350000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81586301-0.81583016) × R
    3.28500000000842e-05 × 6371000     		dr = 209.287350000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05577394-2.05582188) × cos(0.81586301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685240103653187 × 6371000     		do = 209.289965735814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05577394-2.05582188) × cos(0.81583016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685264028504748 × 6371000     		du = 209.297273001307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81586301)-sin(0.81583016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685240103653187-0.685264028504748)×R²
    abs(2.05582188-2.05577394)×2.3924851561552e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3924851561552e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3924851561552e-05×40589641000000     		ar = 43802.5069737154m²