Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108419 / 100107
↖ ↑ ↗
← S 68.410300°
E117.781677°		 ← 112.36 m → S 68.410300°
E117.784424°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
S 68.411310°
E117.781677°		 ← 112.36 m →
12 627 m²		 S 68.411310°
E117.784424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827175140380859 y=0.763759613037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827175140380859 × 217)
    floor (0.827175140380859 × 131072)
    floor (108419.5)     		tx = 108419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763759613037109 × 217)
    floor (0.763759613037109 × 131072)
    floor (100107.5)     		ty = 100107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108419 / 100107 ti = "17/108419/100107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108419/100107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108419 ÷ 217
    108419 ÷ 131072     		x = 0.827171325683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100107 ÷ 217
    100107 ÷ 131072     		y = 0.763755798339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827171325683594 × 2 - 1) × π
    0.654342651367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.05567807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763755798339844 × 2 - 1) × π
    -0.527511596679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.65722655676496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05567807} λ = 2.05567807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65722655676496))-π/2
    2×atan(0.190667051719435)-π/2
    2×0.188405677853133-π/2
    0.376811355706266-1.57079632675     		φ = -1.19398497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05567807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.781677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19398497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.410300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108419 KachelY 100107 2.05567807 -1.19398497 117.781677 -68.410300
    Oben rechts KachelX + 1 108420 KachelY 100107 2.05572600 -1.19398497 117.784424 -68.410300
    Unten links KachelX 108419 KachelY + 1 100108 2.05567807 -1.19400261 117.781677 -68.411310
    Unten rechts KachelX + 1 108420 KachelY + 1 100108 2.05572600 -1.19400261 117.784424 -68.411310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19398497--1.19400261) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dl = 112.384440000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19398497--1.19400261) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dr = 112.384440000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05567807-2.05572600) × cos(-1.19398497) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36795740859564 × 6371000     		do = 112.360221242373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05567807-2.05572600) × cos(-1.19400261) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367941006114125 × 6371000     		du = 112.35521254732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19398497)-sin(-1.19400261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36795740859564-0.367941006114125)×R²
    abs(2.05572600-2.05567807)×1.6402481515021e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6402481515021e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6402481515021e-05×40589641000000     		ar = 12627.259093253m²