Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108418 / 42324
↖ ↑ ↗
← N 53.612062°
E117.778931°		 ← 181.19 m → N 53.612062°
E117.781677°		 →
↑
181.13 m
↓
↑
181.13 m
↓
N 53.610433°
E117.778931°		 ← 181.20 m →
32 820 m²		 N 53.610433°
E117.781677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827167510986328 y=0.322910308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827167510986328 × 217)
    floor (0.827167510986328 × 131072)
    floor (108418.5)     		tx = 108418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322910308837891 × 217)
    floor (0.322910308837891 × 131072)
    floor (42324.5)     		ty = 42324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108418 / 42324 ti = "17/108418/42324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108418/42324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108418 ÷ 217
    108418 ÷ 131072     		x = 0.827163696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42324 ÷ 217
    42324 ÷ 131072     		y = 0.322906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827163696289062 × 2 - 1) × π
    0.654327392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05563013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322906494140625 × 2 - 1) × π
    0.35418701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11271131398074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05563013} λ = 2.05563013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11271131398074))-π/2
    2×atan(3.04259665598318)-π/2
    2×1.25325166578131-π/2
    2.50650333156261-1.57079632675     		φ = 0.93570700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05563013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.778931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93570700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.612062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108418 KachelY 42324 2.05563013 0.93570700 117.778931 53.612062
    Oben rechts KachelX + 1 108419 KachelY 42324 2.05567807 0.93570700 117.781677 53.612062
    Unten links KachelX 108418 KachelY + 1 42325 2.05563013 0.93567857 117.778931 53.610433
    Unten rechts KachelX + 1 108419 KachelY + 1 42325 2.05567807 0.93567857 117.781677 53.610433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93570700-0.93567857) × R
    2.84299999999682e-05 × 6371000     		dl = 181.127529999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93570700-0.93567857) × R
    2.84299999999682e-05 × 6371000     		dr = 181.127529999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05563013-2.05567807) × cos(0.93570700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593249426463462 × 6371000     		do = 181.19364508206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05563013-2.05567807) × cos(0.93567857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593272312905536 × 6371000     		du = 181.200635190566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93570700)-sin(0.93567857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593249426463462-0.593272312905536)×R²
    abs(2.05567807-2.05563013)×2.28864420745989e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28864420745989e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28864420745989e-05×40589641000000     		ar = 32819.7904380471m²