Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108418 / 100106
↖ ↑ ↗
← S 68.409289°
E117.778931°		 ← 112.39 m → S 68.409289°
E117.781677°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
S 68.410300°
E117.778931°		 ← 112.38 m →
12 630 m²		 S 68.410300°
E117.781677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827167510986328 y=0.763751983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827167510986328 × 217)
    floor (0.827167510986328 × 131072)
    floor (108418.5)     		tx = 108418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763751983642578 × 217)
    floor (0.763751983642578 × 131072)
    floor (100106.5)     		ty = 100106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108418 / 100106 ti = "17/108418/100106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108418/100106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108418 ÷ 217
    108418 ÷ 131072     		x = 0.827163696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100106 ÷ 217
    100106 ÷ 131072     		y = 0.763748168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827163696289062 × 2 - 1) × π
    0.654327392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05563013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763748168945312 × 2 - 1) × π
    -0.527496337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65717861986534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05563013} λ = 2.05563013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65717861986534))-π/2
    2×atan(0.190676191925829)-π/2
    2×0.188414497418347-π/2
    0.376828994836695-1.57079632675     		φ = -1.19396733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05563013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.778931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19396733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.409289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108418 KachelY 100106 2.05563013 -1.19396733 117.778931 -68.409289
    Oben rechts KachelX + 1 108419 KachelY 100106 2.05567807 -1.19396733 117.781677 -68.409289
    Unten links KachelX 108418 KachelY + 1 100107 2.05563013 -1.19398497 117.778931 -68.410300
    Unten rechts KachelX + 1 108419 KachelY + 1 100107 2.05567807 -1.19398497 117.781677 -68.410300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19396733--1.19398497) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dl = 112.384440000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19396733--1.19398497) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dr = 112.384440000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05563013-2.05567807) × cos(-1.19396733) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367973810962658 × 6371000     		do = 112.388673513816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05563013-2.05567807) × cos(-1.19398497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36795740859564 × 6371000     		du = 112.383663808732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19396733)-sin(-1.19398497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367973810962658-0.36795740859564)×R²
    abs(2.05567807-2.05563013)×1.6402367017887e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6402367017887e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6402367017887e-05×40589641000000     		ar = 12630.4566291116m²