Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108415 / 42395
↖ ↑ ↗
← N 53.496216°
E117.770691°		 ← 181.69 m → N 53.496216°
E117.773438°		 →
↑
181.70 m
↓
↑
181.70 m
↓
N 53.494582°
E117.770691°		 ← 181.70 m →
33 014 m²		 N 53.494582°
E117.773438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827144622802734 y=0.323451995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827144622802734 × 217)
    floor (0.827144622802734 × 131072)
    floor (108415.5)     		tx = 108415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323451995849609 × 217)
    floor (0.323451995849609 × 131072)
    floor (42395.5)     		ty = 42395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108415 / 42395 ti = "17/108415/42395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108415/42395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108415 ÷ 217
    108415 ÷ 131072     		x = 0.827140808105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42395 ÷ 217
    42395 ÷ 131072     		y = 0.323448181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827140808105469 × 2 - 1) × π
    0.654281616210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.05548632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323448181152344 × 2 - 1) × π
    0.353103637695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.10930779410772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05548632} λ = 2.05548632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10930779410772))-π/2
    2×atan(3.03225872046294)-π/2
    2×1.25224071404946-π/2
    2.50448142809892-1.57079632675     		φ = 0.93368510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05548632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.770691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93368510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.496216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108415 KachelY 42395 2.05548632 0.93368510 117.770691 53.496216
    Oben rechts KachelX + 1 108416 KachelY 42395 2.05553426 0.93368510 117.773438 53.496216
    Unten links KachelX 108415 KachelY + 1 42396 2.05548632 0.93365658 117.770691 53.494582
    Unten rechts KachelX + 1 108416 KachelY + 1 42396 2.05553426 0.93365658 117.773438 53.494582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93368510-0.93365658) × R
    2.85200000000874e-05 × 6371000     		dl = 181.700920000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93368510-0.93365658) × R
    2.85200000000874e-05 × 6371000     		dr = 181.700920000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05548632-2.05553426) × cos(0.93368510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594875880052333 × 6371000     		do = 181.690405873016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05548632-2.05553426) × cos(0.93365658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59489880468752 × 6371000     		du = 181.697407646682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93368510)-sin(0.93365658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594875880052333-0.59489880468752)×R²
    abs(2.05553426-2.05548632)×2.29246351866053e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29246351866053e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29246351866053e-05×40589641000000     		ar = 33013.9500188752m²