Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108413 / 46214
↖ ↑ ↗
← N 46.788777°
E117.765198°		 ← 209.08 m → N 46.788777°
E117.767944°		 →
↑
209.16 m
↓
↑
209.16 m
↓
N 46.786896°
E117.765198°		 ← 209.09 m →
43 732 m²		 N 46.786896°
E117.767944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827129364013672 y=0.352588653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827129364013672 × 217)
    floor (0.827129364013672 × 131072)
    floor (108413.5)     		tx = 108413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352588653564453 × 217)
    floor (0.352588653564453 × 131072)
    floor (46214.5)     		ty = 46214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108413 / 46214 ti = "17/108413/46214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108413/46214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108413 ÷ 217
    108413 ÷ 131072     		x = 0.827125549316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46214 ÷ 217
    46214 ÷ 131072     		y = 0.352584838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827125549316406 × 2 - 1) × π
    0.654251098632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.05539045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352584838867188 × 2 - 1) × π
    0.294830322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.926236774458725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05539045} λ = 2.05539045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926236774458725))-π/2
    2×atan(2.52498917214501)-π/2
    2×1.19370727171677-π/2
    2.38741454343353-1.57079632675     		φ = 0.81661822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05539045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.765198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81661822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.788777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108413 KachelY 46214 2.05539045 0.81661822 117.765198 46.788777
    Oben rechts KachelX + 1 108414 KachelY 46214 2.05543838 0.81661822 117.767944 46.788777
    Unten links KachelX 108413 KachelY + 1 46215 2.05539045 0.81658539 117.765198 46.786896
    Unten rechts KachelX + 1 108414 KachelY + 1 46215 2.05543838 0.81658539 117.767944 46.786896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81661822-0.81658539) × R
    3.28299999999837e-05 × 6371000     		dl = 209.159929999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81661822-0.81658539) × R
    3.28299999999837e-05 × 6371000     		dr = 209.159929999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05539045-2.05543838) × cos(0.81661822) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.684689875832905 × 6371000     		do = 209.078290404912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05539045-2.05543838) × cos(0.81658539) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.684713803101579 × 6371000     		du = 209.085596884246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81661822)-sin(0.81658539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684689875832905-0.684713803101579)×R²
    abs(2.05543838-2.05539045)×2.39272686740621e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39272686740621e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39272686740621e-05×40589641000000     		ar = 43731.5647008751m²