Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108412 / 99964
↖ ↑ ↗
← S 68.265319°
E117.762451°		 ← 113.10 m → S 68.265319°
E117.765198°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
S 68.266336°
E117.762451°		 ← 113.10 m →
12 790 m²		 S 68.266336°
E117.765198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827121734619141 y=0.762668609619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827121734619141 × 217)
    floor (0.827121734619141 × 131072)
    floor (108412.5)     		tx = 108412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762668609619141 × 217)
    floor (0.762668609619141 × 131072)
    floor (99964.5)     		ty = 99964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108412 / 99964 ti = "17/108412/99964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108412/99964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108412 ÷ 217
    108412 ÷ 131072     		x = 0.827117919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99964 ÷ 217
    99964 ÷ 131072     		y = 0.762664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827117919921875 × 2 - 1) × π
    0.65423583984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05534251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.52532958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65037158011929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05534251} λ = 2.05534251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65037158011929))-π/2
    2×atan(0.191978559949493)-π/2
    2×0.189670874155636-π/2
    0.379341748311273-1.57079632675     		φ = -1.19145458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05534251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.762451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19145458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.265319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108412 KachelY 99964 2.05534251 -1.19145458 117.762451 -68.265319
    Oben rechts KachelX + 1 108413 KachelY 99964 2.05539045 -1.19145458 117.765198 -68.265319
    Unten links KachelX 108412 KachelY + 1 99965 2.05534251 -1.19147233 117.762451 -68.266336
    Unten rechts KachelX + 1 108413 KachelY + 1 99965 2.05539045 -1.19147233 117.765198 -68.266336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19145458--1.19147233) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dl = 113.085250000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19145458--1.19147233) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dr = 113.085250000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05534251-2.05539045) × cos(-1.19145458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370309092624881 × 6371000     		do = 113.101928643609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05534251-2.05539045) × cos(-1.19147233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370292604439004 × 6371000     		du = 113.096892727236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19145458)-sin(-1.19147233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370309092624881-0.370292604439004)×R²
    abs(2.05539045-2.05534251)×1.64881858771282e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64881858771282e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64881858771282e-05×40589641000000     		ar = 12789.8751324401m²