Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108412 / 46252
↖ ↑ ↗
← N 46.717269°
E117.762451°		 ← 209.40 m → N 46.717269°
E117.765198°		 →
↑
209.41 m
↓
↑
209.41 m
↓
N 46.715386°
E117.762451°		 ← 209.41 m →
43 852 m²		 N 46.715386°
E117.765198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827121734619141 y=0.352878570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827121734619141 × 217)
    floor (0.827121734619141 × 131072)
    floor (108412.5)     		tx = 108412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352878570556641 × 217)
    floor (0.352878570556641 × 131072)
    floor (46252.5)     		ty = 46252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108412 / 46252 ti = "17/108412/46252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108412/46252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108412 ÷ 217
    108412 ÷ 131072     		x = 0.827117919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46252 ÷ 217
    46252 ÷ 131072     		y = 0.352874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827117919921875 × 2 - 1) × π
    0.65423583984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05534251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352874755859375 × 2 - 1) × π
    0.29425048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.924415172273163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05534251} λ = 2.05534251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.924415172273163))-π/2
    2×atan(2.52039383306107)-π/2
    2×1.19308324143508-π/2
    2.38616648287016-1.57079632675     		φ = 0.81537016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05534251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.762451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81537016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.717269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108412 KachelY 46252 2.05534251 0.81537016 117.762451 46.717269
    Oben rechts KachelX + 1 108413 KachelY 46252 2.05539045 0.81537016 117.765198 46.717269
    Unten links KachelX 108412 KachelY + 1 46253 2.05534251 0.81533729 117.762451 46.715386
    Unten rechts KachelX + 1 108413 KachelY + 1 46253 2.05539045 0.81533729 117.765198 46.715386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81537016-0.81533729) × R
    3.28699999999627e-05 × 6371000     		dl = 209.414769999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81537016-0.81533729) × R
    3.28699999999627e-05 × 6371000     		dr = 209.414769999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05534251-2.05539045) × cos(0.81537016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685598971567008 × 6371000     		do = 209.399573233955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05534251-2.05539045) × cos(0.81533729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685622899880488 × 6371000     		du = 209.406881556806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81537016)-sin(0.81533729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685598971567008-0.685622899880488)×R²
    abs(2.05539045-2.05534251)×2.39283134794155e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39283134794155e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39283134794155e-05×40589641000000     		ar = 43852.1287062649m²