Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108412 / 42601
↖ ↑ ↗
← N 53.158300°
E117.762451°		 ← 183.14 m → N 53.158300°
E117.765198°		 →
↑
183.10 m
↓
↑
183.10 m
↓
N 53.156653°
E117.762451°		 ← 183.14 m →
33 533 m²		 N 53.156653°
E117.765198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827121734619141 y=0.325023651123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827121734619141 × 217)
    floor (0.827121734619141 × 131072)
    floor (108412.5)     		tx = 108412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325023651123047 × 217)
    floor (0.325023651123047 × 131072)
    floor (42601.5)     		ty = 42601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108412 / 42601 ti = "17/108412/42601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108412/42601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108412 ÷ 217
    108412 ÷ 131072     		x = 0.827117919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42601 ÷ 217
    42601 ÷ 131072     		y = 0.325019836425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827117919921875 × 2 - 1) × π
    0.65423583984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05534251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325019836425781 × 2 - 1) × π
    0.349960327148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.09943279278599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05534251} λ = 2.05534251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09943279278599))-π/2
    2×atan(3.0024625224704)-π/2
    2×1.24929184285412-π/2
    2.49858368570823-1.57079632675     		φ = 0.92778736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05534251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.762451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92778736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.158300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108412 KachelY 42601 2.05534251 0.92778736 117.762451 53.158300
    Oben rechts KachelX + 1 108413 KachelY 42601 2.05539045 0.92778736 117.765198 53.158300
    Unten links KachelX 108412 KachelY + 1 42602 2.05534251 0.92775862 117.762451 53.156653
    Unten rechts KachelX + 1 108413 KachelY + 1 42602 2.05539045 0.92775862 117.765198 53.156653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92778736-0.92775862) × R
    2.87399999999716e-05 × 6371000     		dl = 183.102539999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92778736-0.92775862) × R
    2.87399999999716e-05 × 6371000     		dr = 183.102539999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05534251-2.05539045) × cos(0.92778736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59960621375606 × 6371000     		do = 183.135171544923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05534251-2.05539045) × cos(0.92775862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599629213992136 × 6371000     		du = 183.142196409046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92778736)-sin(0.92775862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59960621375606-0.599629213992136)×R²
    abs(2.05539045-2.05534251)×2.30002360750436e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30002360750436e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30002360750436e-05×40589641000000     		ar = 33533.1582106224m²