Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108410 / 99961
↖ ↑ ↗
← S 68.262267°
E117.756958°		 ← 113.12 m → S 68.262267°
E117.759705°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
S 68.263284°
E117.756958°		 ← 113.11 m →
12 792 m²		 S 68.263284°
E117.759705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827106475830078 y=0.762645721435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827106475830078 × 217)
    floor (0.827106475830078 × 131072)
    floor (108410.5)     		tx = 108410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762645721435547 × 217)
    floor (0.762645721435547 × 131072)
    floor (99961.5)     		ty = 99961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108410 / 99961 ti = "17/108410/99961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108410/99961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108410 ÷ 217
    108410 ÷ 131072     		x = 0.827102661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99961 ÷ 217
    99961 ÷ 131072     		y = 0.762641906738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827102661132812 × 2 - 1) × π
    0.654205322265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05524663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762641906738281 × 2 - 1) × π
    -0.525283813476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.65022776942043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05524663} λ = 2.05524663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65022776942043))-π/2
    2×atan(0.192006170505665)-π/2
    2×0.189697503139031-π/2
    0.379395006278062-1.57079632675     		φ = -1.19140132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05524663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.756958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19140132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.262267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108410 KachelY 99961 2.05524663 -1.19140132 117.756958 -68.262267
    Oben rechts KachelX + 1 108411 KachelY 99961 2.05529457 -1.19140132 117.759705 -68.262267
    Unten links KachelX 108410 KachelY + 1 99962 2.05524663 -1.19141907 117.756958 -68.263284
    Unten rechts KachelX + 1 108411 KachelY + 1 99962 2.05529457 -1.19141907 117.759705 -68.263284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19140132--1.19141907) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dl = 113.085250000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19140132--1.19141907) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dr = 113.085250000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05524663-2.05529457) × cos(-1.19140132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370358565771357 × 6371000     		do = 113.117039015981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05524663-2.05529457) × cos(-1.19141907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370342077935573 × 6371000     		du = 113.112003206536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19140132)-sin(-1.19141907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370358565771357-0.370342077935573)×R²
    abs(2.05529457-2.05524663)×1.64878357842291e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64878357842291e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64878357842291e-05×40589641000000     		ar = 12791.5838989072m²