Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108407 / 99962
↖ ↑ ↗
← S 68.263284°
E117.748718°		 ← 113.11 m → S 68.263284°
E117.751465°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
S 68.264302°
E117.748718°		 ← 113.11 m →
12 798 m²		 S 68.264302°
E117.751465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827083587646484 y=0.762653350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827083587646484 × 217)
    floor (0.827083587646484 × 131072)
    floor (108407.5)     		tx = 108407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762653350830078 × 217)
    floor (0.762653350830078 × 131072)
    floor (99962.5)     		ty = 99962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108407 / 99962 ti = "17/108407/99962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108407/99962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108407 ÷ 217
    108407 ÷ 131072     		x = 0.827079772949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99962 ÷ 217
    99962 ÷ 131072     		y = 0.762649536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827079772949219 × 2 - 1) × π
    0.654159545898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.05510282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762649536132812 × 2 - 1) × π
    -0.525299072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65027570632005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05510282} λ = 2.05510282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65027570632005))-π/2
    2×atan(0.191996966545749)-π/2
    2×0.18968862641598-π/2
    0.379377252831961-1.57079632675     		φ = -1.19141907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05510282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.748718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19141907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.263284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108407 KachelY 99962 2.05510282 -1.19141907 117.748718 -68.263284
    Oben rechts KachelX + 1 108408 KachelY 99962 2.05515076 -1.19141907 117.751465 -68.263284
    Unten links KachelX 108407 KachelY + 1 99963 2.05510282 -1.19143683 117.748718 -68.264302
    Unten rechts KachelX + 1 108408 KachelY + 1 99963 2.05515076 -1.19143683 117.751465 -68.264302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19141907--1.19143683) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dl = 113.148959999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19141907--1.19143683) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dr = 113.148959999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05510282-2.05515076) × cos(-1.19141907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370342077935573 × 6371000     		do = 113.112003206536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05510282-2.05515076) × cos(-1.19143683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370325580694088 × 6371000     		du = 113.106964524347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19141907)-sin(-1.19143683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370342077935573-0.370325580694088)×R²
    abs(2.05515076-2.05510282)×1.64972414852804e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64972414852804e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64972414852804e-05×40589641000000     		ar = 12798.2204658485m²