Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108407 / 99960
↖ ↑ ↗
← S 68.261250°
E117.748718°		 ← 113.12 m → S 68.261250°
E117.751465°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
S 68.262267°
E117.748718°		 ← 113.12 m →
12 792 m²		 S 68.262267°
E117.751465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827083587646484 y=0.762638092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827083587646484 × 217)
    floor (0.827083587646484 × 131072)
    floor (108407.5)     		tx = 108407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762638092041016 × 217)
    floor (0.762638092041016 × 131072)
    floor (99960.5)     		ty = 99960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108407 / 99960 ti = "17/108407/99960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108407/99960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108407 ÷ 217
    108407 ÷ 131072     		x = 0.827079772949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99960 ÷ 217
    99960 ÷ 131072     		y = 0.76263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827079772949219 × 2 - 1) × π
    0.654159545898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.05510282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.5252685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65017983252081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05510282} λ = 2.05510282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65017983252081))-π/2
    2×atan(0.1920153749068)-π/2
    2×0.189706380257353-π/2
    0.379412760514706-1.57079632675     		φ = -1.19138357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05510282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.748718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19138357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.261250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108407 KachelY 99960 2.05510282 -1.19138357 117.748718 -68.261250
    Oben rechts KachelX + 1 108408 KachelY 99960 2.05515076 -1.19138357 117.751465 -68.261250
    Unten links KachelX 108407 KachelY + 1 99961 2.05510282 -1.19140132 117.748718 -68.262267
    Unten rechts KachelX + 1 108408 KachelY + 1 99961 2.05515076 -1.19140132 117.751465 -68.262267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19138357--1.19140132) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dl = 113.085250000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19138357--1.19140132) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dr = 113.085250000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05510282-2.05515076) × cos(-1.19138357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370375053490455 × 6371000     		do = 113.122074789788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05510282-2.05515076) × cos(-1.19140132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370358565771357 × 6371000     		du = 113.117039015981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19138357)-sin(-1.19140132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370375053490455-0.370358565771357)×R²
    abs(2.05515076-2.05510282)×1.64877190981239e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64877190981239e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64877190981239e-05×40589641000000     		ar = 12792.153372583m²