Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108405 / 42635
↖ ↑ ↗
← N 53.102270°
E117.743225°		 ← 183.37 m → N 53.102270°
E117.745972°		 →
↑
183.36 m
↓
↑
183.36 m
↓
N 53.100621°
E117.743225°		 ← 183.38 m →
33 624 m²		 N 53.100621°
E117.745972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827068328857422 y=0.325283050537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827068328857422 × 217)
    floor (0.827068328857422 × 131072)
    floor (108405.5)     		tx = 108405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325283050537109 × 217)
    floor (0.325283050537109 × 131072)
    floor (42635.5)     		ty = 42635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108405 / 42635 ti = "17/108405/42635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108405/42635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108405 ÷ 217
    108405 ÷ 131072     		x = 0.827064514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42635 ÷ 217
    42635 ÷ 131072     		y = 0.325279235839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827064514160156 × 2 - 1) × π
    0.654129028320312 × 3.1415926535     		Λ = 2.05500695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325279235839844 × 2 - 1) × π
    0.349441528320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.09780293819891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05500695} λ = 2.05500695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09780293819891))-π/2
    2×atan(2.99757293089963)-π/2
    2×1.24880288864429-π/2
    2.49760577728859-1.57079632675     		φ = 0.92680945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05500695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.743225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92680945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.102270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108405 KachelY 42635 2.05500695 0.92680945 117.743225 53.102270
    Oben rechts KachelX + 1 108406 KachelY 42635 2.05505489 0.92680945 117.745972 53.102270
    Unten links KachelX 108405 KachelY + 1 42636 2.05500695 0.92678067 117.743225 53.100621
    Unten rechts KachelX + 1 108406 KachelY + 1 42636 2.05505489 0.92678067 117.745972 53.100621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92680945-0.92678067) × R
    2.87800000000615e-05 × 6371000     		dl = 183.357380000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92680945-0.92678067) × R
    2.87800000000615e-05 × 6371000     		dr = 183.357380000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05500695-2.05505489) × cos(0.92680945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600388543594842 × 6371000     		do = 183.374115214857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05500695-2.05505489) × cos(0.92678067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600411558955234 × 6371000     		du = 183.381144698336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92680945)-sin(0.92678067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600388543594842-0.600411558955234)×R²
    abs(2.05505489-2.05500695)×2.30153603913985e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30153603913985e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30153603913985e-05×40589641000000     		ar = 33623.6417817037m²