Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108404 / 42386
↖ ↑ ↗
← N 53.510918°
E117.740478°		 ← 181.63 m → N 53.510918°
E117.743225°		 →
↑
181.64 m
↓
↑
181.64 m
↓
N 53.509285°
E117.740478°		 ← 181.63 m →
32 991 m²		 N 53.509285°
E117.743225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827060699462891 y=0.323383331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827060699462891 × 217)
    floor (0.827060699462891 × 131072)
    floor (108404.5)     		tx = 108404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323383331298828 × 217)
    floor (0.323383331298828 × 131072)
    floor (42386.5)     		ty = 42386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108404 / 42386 ti = "17/108404/42386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108404/42386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108404 ÷ 217
    108404 ÷ 131072     		x = 0.827056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42386 ÷ 217
    42386 ÷ 131072     		y = 0.323379516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827056884765625 × 2 - 1) × π
    0.65411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05495901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323379516601562 × 2 - 1) × π
    0.353240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1097392262043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05495901} λ = 2.05495901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1097392262043))-π/2
    2×atan(3.03356721644337)-π/2
    2×1.25236901607351-π/2
    2.50473803214701-1.57079632675     		φ = 0.93394171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05495901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.740478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93394171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.510918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108404 KachelY 42386 2.05495901 0.93394171 117.740478 53.510918
    Oben rechts KachelX + 1 108405 KachelY 42386 2.05500695 0.93394171 117.743225 53.510918
    Unten links KachelX 108404 KachelY + 1 42387 2.05495901 0.93391320 117.740478 53.509285
    Unten rechts KachelX + 1 108405 KachelY + 1 42387 2.05500695 0.93391320 117.743225 53.509285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93394171-0.93391320) × R
    2.85100000000371e-05 × 6371000     		dl = 181.637210000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93394171-0.93391320) × R
    2.85100000000371e-05 × 6371000     		dr = 181.637210000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05495901-2.05500695) × cos(0.93394171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594669592841822 × 6371000     		do = 181.627400449093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05495901-2.05500695) × cos(0.93391320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594692513790414 × 6371000     		du = 181.634401096778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93394171)-sin(0.93391320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594669592841822-0.594692513790414)×R²
    abs(2.05500695-2.05495901)×2.29209485925752e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29209485925752e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29209485925752e-05×40589641000000     		ar = 32990.9300685221m²