Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108403 / 100169
↖ ↑ ↗
← S 68.472872°
E117.737732°		 ← 112.05 m → S 68.472872°
E117.740478°		 →
↑
112.07 m
↓
↑
112.07 m
↓
S 68.473880°
E117.737732°		 ← 112.05 m →
12 557 m²		 S 68.473880°
E117.740478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827053070068359 y=0.764232635498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827053070068359 × 217)
    floor (0.827053070068359 × 131072)
    floor (108403.5)     		tx = 108403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764232635498047 × 217)
    floor (0.764232635498047 × 131072)
    floor (100169.5)     		ty = 100169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108403 / 100169 ti = "17/108403/100169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108403/100169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108403 ÷ 217
    108403 ÷ 131072     		x = 0.827049255371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100169 ÷ 217
    100169 ÷ 131072     		y = 0.764228820800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827049255371094 × 2 - 1) × π
    0.654098510742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.05491108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764228820800781 × 2 - 1) × π
    -0.528457641601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.6601986445414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05491108} λ = 2.05491108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6601986445414))-π/2
    2×atan(0.190101213782176)-π/2
    2×0.187859631971852-π/2
    0.375719263943705-1.57079632675     		φ = -1.19507706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05491108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.737732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19507706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.472872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108403 KachelY 100169 2.05491108 -1.19507706 117.737732 -68.472872
    Oben rechts KachelX + 1 108404 KachelY 100169 2.05495901 -1.19507706 117.740478 -68.472872
    Unten links KachelX 108403 KachelY + 1 100170 2.05491108 -1.19509465 117.737732 -68.473880
    Unten rechts KachelX + 1 108404 KachelY + 1 100170 2.05495901 -1.19509465 117.740478 -68.473880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19507706--1.19509465) × R
    1.75899999999007e-05 × 6371000     		dl = 112.065889999368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19507706--1.19509465) × R
    1.75899999999007e-05 × 6371000     		dr = 112.065889999368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05491108-2.05495901) × cos(-1.19507706) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366941717518603 × 6371000     		do = 112.050067753236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05491108-2.05495901) × cos(-1.19509465) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366925354471045 × 6371000     		du = 112.045071099817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19507706)-sin(-1.19509465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366941717518603-0.366925354471045)×R²
    abs(2.05495901-2.05491108)×1.63630475579213e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63630475579213e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63630475579213e-05×40589641000000     		ar = 12556.7105901989m²