Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108397 / 42603
↖ ↑ ↗
← N 53.155006°
E117.721252°		 ← 183.15 m → N 53.155006°
E117.723999°		 →
↑
183.17 m
↓
↑
183.17 m
↓
N 53.153359°
E117.721252°		 ← 183.16 m →
33 547 m²		 N 53.153359°
E117.723999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827007293701172 y=0.325038909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827007293701172 × 217)
    floor (0.827007293701172 × 131072)
    floor (108397.5)     		tx = 108397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325038909912109 × 217)
    floor (0.325038909912109 × 131072)
    floor (42603.5)     		ty = 42603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108397 / 42603 ti = "17/108397/42603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108397/42603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108397 ÷ 217
    108397 ÷ 131072     		x = 0.827003479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42603 ÷ 217
    42603 ÷ 131072     		y = 0.325035095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827003479003906 × 2 - 1) × π
    0.654006958007812 × 3.1415926535     		Λ = 2.05462345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325035095214844 × 2 - 1) × π
    0.349929809570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.09933691898675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05462345} λ = 2.05462345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09933691898675))-π/2
    2×atan(3.00217467877984)-π/2
    2×1.24926309848848-π/2
    2.49852619697697-1.57079632675     		φ = 0.92772987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05462345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.721252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92772987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.155006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108397 KachelY 42603 2.05462345 0.92772987 117.721252 53.155006
    Oben rechts KachelX + 1 108398 KachelY 42603 2.05467139 0.92772987 117.723999 53.155006
    Unten links KachelX 108397 KachelY + 1 42604 2.05462345 0.92770112 117.721252 53.153359
    Unten rechts KachelX + 1 108398 KachelY + 1 42604 2.05467139 0.92770112 117.723999 53.153359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92772987-0.92770112) × R
    2.87499999999108e-05 × 6371000     		dl = 183.166249999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92772987-0.92770112) × R
    2.87499999999108e-05 × 6371000     		dr = 183.166249999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05462345-2.05467139) × cos(0.92772987) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.599652221735532 × 6371000     		do = 183.149223567795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05462345-2.05467139) × cos(0.92770112) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.599675228983277 × 6371000     		du = 183.156250573463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92772987)-sin(0.92770112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599652221735532-0.599675228983277)×R²
    abs(2.05467139-2.05462345)×2.30072477458432e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.30072477458432e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.30072477458432e-05×40589641000000     		ar = 33547.4000287569m²