Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108396 / 42370
↖ ↑ ↗
← N 53.537043°
E117.718506°		 ← 181.48 m → N 53.537043°
E117.721252°		 →
↑
181.51 m
↓
↑
181.51 m
↓
N 53.535411°
E117.718506°		 ← 181.48 m →
32 941 m²		 N 53.535411°
E117.721252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826999664306641 y=0.323261260986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826999664306641 × 217)
    floor (0.826999664306641 × 131072)
    floor (108396.5)     		tx = 108396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323261260986328 × 217)
    floor (0.323261260986328 × 131072)
    floor (42370.5)     		ty = 42370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108396 / 42370 ti = "17/108396/42370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108396/42370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108396 ÷ 217
    108396 ÷ 131072     		x = 0.826995849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42370 ÷ 217
    42370 ÷ 131072     		y = 0.323257446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826995849609375 × 2 - 1) × π
    0.65399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05457552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323257446289062 × 2 - 1) × π
    0.353485107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11050621659822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05457552} λ = 2.05457552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11050621659822))-π/2
    2×atan(3.03589482587063)-π/2
    2×1.25259699870114-π/2
    2.50519399740227-1.57079632675     		φ = 0.93439767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05457552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.718506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93439767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.537043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108396 KachelY 42370 2.05457552 0.93439767 117.718506 53.537043
    Oben rechts KachelX + 1 108397 KachelY 42370 2.05462345 0.93439767 117.721252 53.537043
    Unten links KachelX 108396 KachelY + 1 42371 2.05457552 0.93436918 117.718506 53.535411
    Unten rechts KachelX + 1 108397 KachelY + 1 42371 2.05462345 0.93436918 117.721252 53.535411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93439767-0.93436918) × R
    2.84899999999366e-05 × 6371000     		dl = 181.509789999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93439767-0.93436918) × R
    2.84899999999366e-05 × 6371000     		dr = 181.509789999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05457552-2.05462345) × cos(0.93439767) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.594302952788395 × 6371000     		do = 181.477556096888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05457552-2.05462345) × cos(0.93436918) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.594325865380627 × 6371000     		du = 181.484552732565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93439767)-sin(0.93436918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594302952788395-0.594325865380627)×R²
    abs(2.05462345-2.05457552)×2.29125922317497e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.29125922317497e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.29125922317497e-05×40589641000000     		ar = 32940.5880780143m²