Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108395 / 99779
↖ ↑ ↗
← S 68.076382°
E117.715759°		 ← 114.04 m → S 68.076382°
E117.718506°		 →
↑
114.04 m
↓
↑
114.04 m
↓
S 68.077407°
E117.715759°		 ← 114.03 m →
13 005 m²		 S 68.077407°
E117.718506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826992034912109 y=0.761257171630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826992034912109 × 217)
    floor (0.826992034912109 × 131072)
    floor (108395.5)     		tx = 108395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761257171630859 × 217)
    floor (0.761257171630859 × 131072)
    floor (99779.5)     		ty = 99779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108395 / 99779 ti = "17/108395/99779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108395/99779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108395 ÷ 217
    108395 ÷ 131072     		x = 0.826988220214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99779 ÷ 217
    99779 ÷ 131072     		y = 0.761253356933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826988220214844 × 2 - 1) × π
    0.653976440429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.05452758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761253356933594 × 2 - 1) × π
    -0.522506713867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.64150325368958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05452758} λ = 2.05452758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64150325368958))-π/2
    2×atan(0.193688660142129)-π/2
    2×0.191319664078633-π/2
    0.382639328157266-1.57079632675     		φ = -1.18815700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05452758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.715759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18815700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.076382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108395 KachelY 99779 2.05452758 -1.18815700 117.715759 -68.076382
    Oben rechts KachelX + 1 108396 KachelY 99779 2.05457552 -1.18815700 117.718506 -68.076382
    Unten links KachelX 108395 KachelY + 1 99780 2.05452758 -1.18817490 117.715759 -68.077407
    Unten rechts KachelX + 1 108396 KachelY + 1 99780 2.05457552 -1.18817490 117.718506 -68.077407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18815700--1.18817490) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dl = 114.040900000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18815700--1.18817490) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dr = 114.040900000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05452758-2.05457552) × cos(-1.18815700) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.373370224099683 × 6371000     		do = 114.036876990593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05452758-2.05457552) × cos(-1.18817490) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.373353618524518 × 6371000     		du = 114.03180522051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18815700)-sin(-1.18817490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373370224099683-0.373353618524518)×R²
    abs(2.05457552-2.05452758)×1.66055751655292e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.66055751655292e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.66055751655292e-05×40589641000000     		ar = 13004.5788909947m²