Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108394 / 42375
↖ ↑ ↗
← N 53.528881°
E117.713012°		 ← 181.55 m → N 53.528881°
E117.715759°		 →
↑
181.51 m
↓
↑
181.51 m
↓
N 53.527248°
E117.713012°		 ← 181.56 m →
32 954 m²		 N 53.527248°
E117.715759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826984405517578 y=0.323299407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826984405517578 × 217)
    floor (0.826984405517578 × 131072)
    floor (108394.5)     		tx = 108394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323299407958984 × 217)
    floor (0.323299407958984 × 131072)
    floor (42375.5)     		ty = 42375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108394 / 42375 ti = "17/108394/42375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108394/42375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108394 ÷ 217
    108394 ÷ 131072     		x = 0.826980590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42375 ÷ 217
    42375 ÷ 131072     		y = 0.323295593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826980590820312 × 2 - 1) × π
    0.653961181640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05447964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323295593261719 × 2 - 1) × π
    0.353408813476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.11026653210012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05447964} λ = 2.05447964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11026653210012))-π/2
    2×atan(3.03516725614008)-π/2
    2×1.25252576923393-π/2
    2.50505153846787-1.57079632675     		φ = 0.93425521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05447964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.713012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93425521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.528881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108394 KachelY 42375 2.05447964 0.93425521 117.713012 53.528881
    Oben rechts KachelX + 1 108395 KachelY 42375 2.05452758 0.93425521 117.715759 53.528881
    Unten links KachelX 108394 KachelY + 1 42376 2.05447964 0.93422672 117.713012 53.527248
    Unten rechts KachelX + 1 108395 KachelY + 1 42376 2.05452758 0.93422672 117.715759 53.527248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93425521-0.93422672) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dl = 181.509790000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93425521-0.93422672) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dr = 181.509790000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05447964-2.05452758) × cos(0.93425521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59441751896691 × 6371000     		do = 181.550410599313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05447964-2.05452758) × cos(0.93422672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594440429146774 × 6371000     		du = 181.557407957952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93425521)-sin(0.93422672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59441751896691-0.594440429146774)×R²
    abs(2.05452758-2.05447964)×2.29101798642217e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29101798642217e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29101798642217e-05×40589641000000     		ar = 32953.8119491479m²