Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108389 / 42599
↖ ↑ ↗
← N 53.161593°
E117.699280°		 ← 183.12 m → N 53.161593°
E117.702027°		 →
↑
183.10 m
↓
↑
183.10 m
↓
N 53.159947°
E117.699280°		 ← 183.13 m →
33 531 m²		 N 53.159947°
E117.702027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826946258544922 y=0.325008392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826946258544922 × 217)
    floor (0.826946258544922 × 131072)
    floor (108389.5)     		tx = 108389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325008392333984 × 217)
    floor (0.325008392333984 × 131072)
    floor (42599.5)     		ty = 42599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108389 / 42599 ti = "17/108389/42599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108389/42599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108389 ÷ 217
    108389 ÷ 131072     		x = 0.826942443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42599 ÷ 217
    42599 ÷ 131072     		y = 0.325004577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826942443847656 × 2 - 1) × π
    0.653884887695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.05423996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325004577636719 × 2 - 1) × π
    0.349990844726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.09952866658523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05423996} λ = 2.05423996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09952866658523))-π/2
    2×atan(3.00275039375894)-π/2
    2×1.24932058501435-π/2
    2.49864117002871-1.57079632675     		φ = 0.92784484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05423996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.699280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92784484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.161593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108389 KachelY 42599 2.05423996 0.92784484 117.699280 53.161593
    Oben rechts KachelX + 1 108390 KachelY 42599 2.05428790 0.92784484 117.702027 53.161593
    Unten links KachelX 108389 KachelY + 1 42600 2.05423996 0.92781610 117.699280 53.159947
    Unten rechts KachelX + 1 108390 KachelY + 1 42600 2.05428790 0.92781610 117.702027 53.159947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92784484-0.92781610) × R
    2.87399999999716e-05 × 6371000     		dl = 183.102539999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92784484-0.92781610) × R
    2.87399999999716e-05 × 6371000     		dr = 183.102539999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05423996-2.05428790) × cos(0.92784484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599560211798127 × 6371000     		do = 183.12112136288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05423996-2.05428790) × cos(0.92781610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599583213024718 × 6371000     		du = 183.128146529532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92784484)-sin(0.92781610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599560211798127-0.599583213024718)×R²
    abs(2.05428790-2.05423996)×2.30012265907131e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30012265907131e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30012265907131e-05×40589641000000     		ar = 33530.5856143734m²