Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108386 / 99775
↖ ↑ ↗
← S 68.072279°
E117.691040°		 ← 114.06 m → S 68.072279°
E117.693787°		 →
↑
114.04 m
↓
↑
114.04 m
↓
S 68.073305°
E117.691040°		 ← 114.05 m →
13 007 m²		 S 68.073305°
E117.693787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826923370361328 y=0.761226654052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826923370361328 × 217)
    floor (0.826923370361328 × 131072)
    floor (108386.5)     		tx = 108386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761226654052734 × 217)
    floor (0.761226654052734 × 131072)
    floor (99775.5)     		ty = 99775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108386 / 99775 ti = "17/108386/99775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108386/99775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108386 ÷ 217
    108386 ÷ 131072     		x = 0.826919555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99775 ÷ 217
    99775 ÷ 131072     		y = 0.761222839355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826919555664062 × 2 - 1) × π
    0.653839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05409615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761222839355469 × 2 - 1) × π
    -0.522445678710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.6413115060911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05409615} λ = 2.05409615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6413115060911))-π/2
    2×atan(0.193725803038481)-π/2
    2×0.191355463684569-π/2
    0.382710927369138-1.57079632675     		φ = -1.18808540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05409615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.691040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18808540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.072279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108386 KachelY 99775 2.05409615 -1.18808540 117.691040 -68.072279
    Oben rechts KachelX + 1 108387 KachelY 99775 2.05414409 -1.18808540 117.693787 -68.072279
    Unten links KachelX 108386 KachelY + 1 99776 2.05409615 -1.18810330 117.691040 -68.073305
    Unten rechts KachelX + 1 108387 KachelY + 1 99776 2.05414409 -1.18810330 117.693787 -68.073305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18808540--1.18810330) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dl = 114.040900000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18808540--1.18810330) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dr = 114.040900000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05409615-2.05414409) × cos(-1.18808540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373436645203976 × 6371000     		do = 114.057163704467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05409615-2.05414409) × cos(-1.18810330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373420040107369 × 6371000     		du = 114.052092080548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18808540)-sin(-1.18810330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373436645203976-0.373420040107369)×R²
    abs(2.05414409-2.05409615)×1.66050966073916e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66050966073916e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66050966073916e-05×40589641000000     		ar = 13006.8924144489m²