Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108385 / 42529
↖ ↑ ↗
← N 53.276711°
E117.688293°		 ← 182.63 m → N 53.276711°
E117.691040°		 →
↑
182.66 m
↓
↑
182.66 m
↓
N 53.275068°
E117.688293°		 ← 182.64 m →
33 359 m²		 N 53.275068°
E117.691040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826915740966797 y=0.324474334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826915740966797 × 217)
    floor (0.826915740966797 × 131072)
    floor (108385.5)     		tx = 108385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324474334716797 × 217)
    floor (0.324474334716797 × 131072)
    floor (42529.5)     		ty = 42529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108385 / 42529 ti = "17/108385/42529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108385/42529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108385 ÷ 217
    108385 ÷ 131072     		x = 0.826911926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42529 ÷ 217
    42529 ÷ 131072     		y = 0.324470520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826911926269531 × 2 - 1) × π
    0.653823852539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.05404821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324470520019531 × 2 - 1) × π
    0.351058959960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.10288424955863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05404821} λ = 2.05404821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10288424955863))-π/2
    2×atan(3.0128432961689)-π/2
    2×1.25032517180275-π/2
    2.50065034360549-1.57079632675     		φ = 0.92985402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05404821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.688293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92985402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.276711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108385 KachelY 42529 2.05404821 0.92985402 117.688293 53.276711
    Oben rechts KachelX + 1 108386 KachelY 42529 2.05409615 0.92985402 117.691040 53.276711
    Unten links KachelX 108385 KachelY + 1 42530 2.05404821 0.92982535 117.688293 53.275068
    Unten rechts KachelX + 1 108386 KachelY + 1 42530 2.05409615 0.92982535 117.691040 53.275068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92985402-0.92982535) × R
    2.86699999999529e-05 × 6371000     		dl = 182.6565699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92985402-0.92982535) × R
    2.86699999999529e-05 × 6371000     		dr = 182.6565699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05404821-2.05409615) × cos(0.92985402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.597950996395884 × 6371000     		do = 182.62962555783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05404821-2.05409615) × cos(0.92982535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59797397609151 × 6371000     		du = 182.636644148372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92985402)-sin(0.92982535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597950996395884-0.59797397609151)×R²
    abs(2.05409615-2.05404821)×2.29796956258133e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29796956258133e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29796956258133e-05×40589641000000     		ar = 33359.1419829242m²