Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108383 / 99953
↖ ↑ ↗
← S 68.254128°
E117.682800°		 ← 113.13 m → S 68.254128°
E117.685547°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
S 68.255145°
E117.682800°		 ← 113.13 m →
12 801 m²		 S 68.255145°
E117.685547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826900482177734 y=0.762584686279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826900482177734 × 217)
    floor (0.826900482177734 × 131072)
    floor (108383.5)     		tx = 108383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762584686279297 × 217)
    floor (0.762584686279297 × 131072)
    floor (99953.5)     		ty = 99953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108383 / 99953 ti = "17/108383/99953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108383/99953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108383 ÷ 217
    108383 ÷ 131072     		x = 0.826896667480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99953 ÷ 217
    99953 ÷ 131072     		y = 0.762580871582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826896667480469 × 2 - 1) × π
    0.653793334960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.05395234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762580871582031 × 2 - 1) × π
    -0.525161743164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.64984427422347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05395234} λ = 2.05395234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64984427422347))-π/2
    2×atan(0.192079818070682)-π/2
    2×0.189768531154469-π/2
    0.379537062308938-1.57079632675     		φ = -1.19125926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05395234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.682800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19125926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.254128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108383 KachelY 99953 2.05395234 -1.19125926 117.682800 -68.254128
    Oben rechts KachelX + 1 108384 KachelY 99953 2.05400027 -1.19125926 117.685547 -68.254128
    Unten links KachelX 108383 KachelY + 1 99954 2.05395234 -1.19127702 117.682800 -68.255145
    Unten rechts KachelX + 1 108384 KachelY + 1 99954 2.05400027 -1.19127702 117.685547 -68.255145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19125926--1.19127702) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dl = 113.148959999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19125926--1.19127702) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dr = 113.148959999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05395234-2.05400027) × cos(-1.19125926) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37049051998667 × 6371000     		do = 113.133737278954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05395234-2.05400027) × cos(-1.19127702) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.370474023796487 × 6371000     		du = 113.128699968833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19125926)-sin(-1.19127702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37049051998667-0.370474023796487)×R²
    abs(2.05400027-2.05395234)×1.64961901836791e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64961901836791e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64961901836791e-05×40589641000000     		ar = 12800.6797311303m²