Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108383 / 99778
↖ ↑ ↗
← S 68.075356°
E117.682800°		 ← 114.02 m → S 68.075356°
E117.685547°		 →
↑
114.04 m
↓
↑
114.04 m
↓
S 68.076382°
E117.682800°		 ← 114.01 m →
13 002 m²		 S 68.076382°
E117.685547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826900482177734 y=0.761249542236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826900482177734 × 217)
    floor (0.826900482177734 × 131072)
    floor (108383.5)     		tx = 108383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761249542236328 × 217)
    floor (0.761249542236328 × 131072)
    floor (99778.5)     		ty = 99778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108383 / 99778 ti = "17/108383/99778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108383/99778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108383 ÷ 217
    108383 ÷ 131072     		x = 0.826896667480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99778 ÷ 217
    99778 ÷ 131072     		y = 0.761245727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826896667480469 × 2 - 1) × π
    0.653793334960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.05395234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761245727539062 × 2 - 1) × π
    -0.522491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64145531678996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05395234} λ = 2.05395234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64145531678996))-π/2
    2×atan(0.193697945198535)-π/2
    2×0.191328613383127-π/2
    0.382657226766254-1.57079632675     		φ = -1.18813910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05395234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.682800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18813910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.075356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108383 KachelY 99778 2.05395234 -1.18813910 117.682800 -68.075356
    Oben rechts KachelX + 1 108384 KachelY 99778 2.05400027 -1.18813910 117.685547 -68.075356
    Unten links KachelX 108383 KachelY + 1 99779 2.05395234 -1.18815700 117.682800 -68.076382
    Unten rechts KachelX + 1 108384 KachelY + 1 99779 2.05400027 -1.18815700 117.685547 -68.076382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18813910--1.18815700) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dl = 114.040900000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18813910--1.18815700) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dr = 114.040900000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05395234-2.05400027) × cos(-1.18813910) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373386829555217 × 6371000     		do = 114.018160248315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05395234-2.05400027) × cos(-1.18815700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373370224099683 × 6371000     		du = 114.013089572704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18813910)-sin(-1.18815700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373386829555217-0.373370224099683)×R²
    abs(2.05400027-2.05395234)×1.66054555339468e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66054555339468e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66054555339468e-05×40589641000000     		ar = 13002.4444791767m²