Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108383 / 42352
↖ ↑ ↗
← N 53.566414°
E117.682800°		 ← 181.35 m → N 53.566414°
E117.685547°		 →
↑
181.38 m
↓
↑
181.38 m
↓
N 53.564783°
E117.682800°		 ← 181.36 m →
32 895 m²		 N 53.564783°
E117.685547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826900482177734 y=0.323123931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826900482177734 × 217)
    floor (0.826900482177734 × 131072)
    floor (108383.5)     		tx = 108383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323123931884766 × 217)
    floor (0.323123931884766 × 131072)
    floor (42352.5)     		ty = 42352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108383 / 42352 ti = "17/108383/42352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108383/42352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108383 ÷ 217
    108383 ÷ 131072     		x = 0.826896667480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42352 ÷ 217
    42352 ÷ 131072     		y = 0.3231201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826896667480469 × 2 - 1) × π
    0.653793334960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.05395234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3231201171875 × 2 - 1) × π
    0.353759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11136908079138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05395234} λ = 2.05395234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11136908079138))-π/2
    2×atan(3.0385155212996)-π/2
    2×1.25285331111421-π/2
    2.50570662222842-1.57079632675     		φ = 0.93491030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05395234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.682800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93491030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.566414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108383 KachelY 42352 2.05395234 0.93491030 117.682800 53.566414
    Oben rechts KachelX + 1 108384 KachelY 42352 2.05400027 0.93491030 117.685547 53.566414
    Unten links KachelX 108383 KachelY + 1 42353 2.05395234 0.93488183 117.682800 53.564783
    Unten rechts KachelX + 1 108384 KachelY + 1 42353 2.05400027 0.93488183 117.685547 53.564783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93491030-0.93488183) × R
    2.84699999999471e-05 × 6371000     		dl = 181.382369999663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93491030-0.93488183) × R
    2.84699999999471e-05 × 6371000     		dr = 181.382369999663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05395234-2.05400027) × cos(0.93491030) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593890596522316 × 6371000     		do = 181.351638152076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05395234-2.05400027) × cos(0.93488183) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593913501700819 × 6371000     		du = 181.358632523881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93491030)-sin(0.93488183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593890596522316-0.593913501700819)×R²
    abs(2.05400027-2.05395234)×2.29051785030077e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29051785030077e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29051785030077e-05×40589641000000     		ar = 32894.6242613553m²