Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108382 / 99956
↖ ↑ ↗
← S 68.257181°
E117.680054°		 ← 113.14 m → S 68.257181°
E117.682800°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
S 68.258198°
E117.680054°		 ← 113.14 m →
12 802 m²		 S 68.258198°
E117.682800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826892852783203 y=0.762607574462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826892852783203 × 217)
    floor (0.826892852783203 × 131072)
    floor (108382.5)     		tx = 108382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762607574462891 × 217)
    floor (0.762607574462891 × 131072)
    floor (99956.5)     		ty = 99956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108382 / 99956 ti = "17/108382/99956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108382/99956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108382 ÷ 217
    108382 ÷ 131072     		x = 0.826889038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99956 ÷ 217
    99956 ÷ 131072     		y = 0.762603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826889038085938 × 2 - 1) × π
    0.653778076171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05390440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762603759765625 × 2 - 1) × π
    -0.52520751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64998808492233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05390440} λ = 2.05390440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64998808492233))-π/2
    2×atan(0.192052196923964)-π/2
    2×0.189741892683659-π/2
    0.379483785367317-1.57079632675     		φ = -1.19131254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05390440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.680054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19131254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.257181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108382 KachelY 99956 2.05390440 -1.19131254 117.680054 -68.257181
    Oben rechts KachelX + 1 108383 KachelY 99956 2.05395234 -1.19131254 117.682800 -68.257181
    Unten links KachelX 108382 KachelY + 1 99957 2.05390440 -1.19133030 117.680054 -68.258198
    Unten rechts KachelX + 1 108383 KachelY + 1 99957 2.05395234 -1.19133030 117.682800 -68.258198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19131254--1.19133030) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dl = 113.148959999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19131254--1.19133030) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dr = 113.148959999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05390440-2.05395234) × cos(-1.19131254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370441031065563 × 6371000     		do = 113.142226039488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05390440-2.05395234) × cos(-1.19133030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370424534524832 × 6371000     		du = 113.137187571328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19131254)-sin(-1.19133030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370441031065563-0.370424534524832)×R²
    abs(2.05395234-2.05390440)×1.64965407301598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64965407301598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64965407301598e-05×40589641000000     		ar = 12801.6401599936m²