Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10838 / 4645
↖ ↑ ↗
← N 82.281644°
W120.465088°		 ← 82.04 m → N 82.281644°
W120.459595°		 →
↑
82.06 m
↓
↑
82.06 m
↓
N 82.280906°
W120.465088°		 ← 82.05 m →
6 732 m²		 N 82.280906°
W120.459595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165382385253906 y=0.0708847045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165382385253906 × 216)
    floor (0.165382385253906 × 65536)
    floor (10838.5)     		tx = 10838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0708847045898438 × 216)
    floor (0.0708847045898438 × 65536)
    floor (4645.5)     		ty = 4645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10838 / 4645 ti = "16/10838/4645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10838/4645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10838 ÷ 216
    10838 ÷ 65536     		x = 0.165374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4645 ÷ 216
    4645 ÷ 65536     		y = 0.0708770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.66925048828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.10251242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0708770751953125 × 2 - 1) × π
    0.858245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69625885602968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10251242} λ = -2.10251242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69625885602968))-π/2
    2×atan(14.8241685060568)-π/2
    2×1.50344096088844-π/2
    3.00688192177688-1.57079632675     		φ = 1.43608560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10251242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.465088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43608560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.281644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10838 KachelY 4645 -2.10251242 1.43608560 -120.465088 82.281644
    Oben rechts KachelX + 1 10839 KachelY 4645 -2.10241654 1.43608560 -120.459595 82.281644
    Unten links KachelX 10838 KachelY + 1 4646 -2.10251242 1.43607272 -120.465088 82.280906
    Unten rechts KachelX + 1 10839 KachelY + 1 4646 -2.10241654 1.43607272 -120.459595 82.280906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43608560-1.43607272) × R
    1.28799999998819e-05 × 6371000     		dl = 82.0584799992474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43608560-1.43607272) × R
    1.28799999998819e-05 × 6371000     		dr = 82.0584799992474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10251242--2.10241654) × cos(1.43608560) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.134303664176137 × 6371000     		do = 82.0395920313624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10251242--2.10241654) × cos(1.43607272) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.13431642747507 × 6371000     		du = 82.0473885114054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43608560)-sin(1.43607272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134303664176137-0.13431642747507)×R²
    abs(-2.10241654--2.10251242)×1.2763298933155e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.2763298933155e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.2763298933155e-05×40589641000000     		ar = 6732.36410544353m²