Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108377 / 42221
↖ ↑ ↗
← N 53.779558°
E117.666321°		 ← 180.44 m → N 53.779558°
E117.669067°		 →
↑
180.49 m
↓
↑
180.49 m
↓
N 53.777935°
E117.666321°		 ← 180.44 m →
32 568 m²		 N 53.777935°
E117.669067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826854705810547 y=0.322124481201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826854705810547 × 217)
    floor (0.826854705810547 × 131072)
    floor (108377.5)     		tx = 108377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322124481201172 × 217)
    floor (0.322124481201172 × 131072)
    floor (42221.5)     		ty = 42221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108377 / 42221 ti = "17/108377/42221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108377/42221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108377 ÷ 217
    108377 ÷ 131072     		x = 0.826850891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42221 ÷ 217
    42221 ÷ 131072     		y = 0.322120666503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826850891113281 × 2 - 1) × π
    0.653701782226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.05366472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322120666503906 × 2 - 1) × π
    0.355758666992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.11764881464161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05366472} λ = 2.05366472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11764881464161))-π/2
    2×atan(3.05765662769752)-π/2
    2×1.25471334155679-π/2
    2.50942668311358-1.57079632675     		φ = 0.93863036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05366472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.666321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93863036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.779558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108377 KachelY 42221 2.05366472 0.93863036 117.666321 53.779558
    Oben rechts KachelX + 1 108378 KachelY 42221 2.05371265 0.93863036 117.669067 53.779558
    Unten links KachelX 108377 KachelY + 1 42222 2.05366472 0.93860203 117.666321 53.777935
    Unten rechts KachelX + 1 108378 KachelY + 1 42222 2.05371265 0.93860203 117.669067 53.777935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93863036-0.93860203) × R
    2.83300000000208e-05 × 6371000     		dl = 180.490430000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93863036-0.93860203) × R
    2.83300000000208e-05 × 6371000     		dr = 180.490430000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05366472-2.05371265) × cos(0.93863036) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.590893535366283 × 6371000     		do = 180.436449473436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05366472-2.05371265) × cos(0.93860203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.590916390343794 × 6371000     		du = 180.443428515764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93863036)-sin(0.93860203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590893535366283-0.590916390343794)×R²
    abs(2.05371265-2.05366472)×2.28549775109776e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28549775109776e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28549775109776e-05×40589641000000     		ar = 32567.6821806925m²