Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108377 / 100153
↖ ↑ ↗
← S 68.456741°
E117.666321°		 ← 112.13 m → S 68.456741°
E117.669067°		 →
↑
112.13 m
↓
↑
112.13 m
↓
S 68.457749°
E117.666321°		 ← 112.13 m →
12 573 m²		 S 68.457749°
E117.669067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826854705810547 y=0.764110565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826854705810547 × 217)
    floor (0.826854705810547 × 131072)
    floor (108377.5)     		tx = 108377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764110565185547 × 217)
    floor (0.764110565185547 × 131072)
    floor (100153.5)     		ty = 100153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108377 / 100153 ti = "17/108377/100153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108377/100153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108377 ÷ 217
    108377 ÷ 131072     		x = 0.826850891113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100153 ÷ 217
    100153 ÷ 131072     		y = 0.764106750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826850891113281 × 2 - 1) × π
    0.653701782226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.05366472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764106750488281 × 2 - 1) × π
    -0.528213500976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.65943165414748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05366472} λ = 2.05366472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65943165414748))-π/2
    2×atan(0.190247075517144)-π/2
    2×0.188000402568315-π/2
    0.376000805136629-1.57079632675     		φ = -1.19479552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05366472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.666321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19479552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.456741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108377 KachelY 100153 2.05366472 -1.19479552 117.666321 -68.456741
    Oben rechts KachelX + 1 108378 KachelY 100153 2.05371265 -1.19479552 117.669067 -68.456741
    Unten links KachelX 108377 KachelY + 1 100154 2.05366472 -1.19481312 117.666321 -68.457749
    Unten rechts KachelX + 1 108378 KachelY + 1 100154 2.05371265 -1.19481312 117.669067 -68.457749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19479552--1.19481312) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dl = 112.129600000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19479552--1.19481312) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dr = 112.129600000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05366472-2.05371265) × cos(-1.19479552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367203603849425 × 6371000     		do = 112.130037894845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05366472-2.05371265) × cos(-1.19481312) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367187233318206 × 6371000     		du = 112.1250389562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19479552)-sin(-1.19481312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367203603849425-0.367187233318206)×R²
    abs(2.05371265-2.05366472)×1.63705312192786e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63705312192786e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63705312192786e-05×40589641000000     		ar = 12572.8160329021m²