Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108375 / 101574
↖ ↑ ↗
← S 69.845301°
E117.660827°		 ← 105.24 m → S 69.845301°
E117.663574°		 →
↑
105.19 m
↓
↑
105.19 m
↓
S 69.846247°
E117.660827°		 ← 105.23 m →
11 069 m²		 S 69.846247°
E117.663574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826839447021484 y=0.774951934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826839447021484 × 217)
    floor (0.826839447021484 × 131072)
    floor (108375.5)     		tx = 108375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774951934814453 × 217)
    floor (0.774951934814453 × 131072)
    floor (101574.5)     		ty = 101574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108375 / 101574 ti = "17/108375/101574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108375/101574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108375 ÷ 217
    108375 ÷ 131072     		x = 0.826835632324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101574 ÷ 217
    101574 ÷ 131072     		y = 0.774948120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826835632324219 × 2 - 1) × π
    0.653671264648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.05356884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774948120117188 × 2 - 1) × π
    -0.549896240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72754998850758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05356884} λ = 2.05356884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72754998850758))-π/2
    2×atan(0.177719291326358)-π/2
    2×0.175882930259745-π/2
    0.35176586051949-1.57079632675     		φ = -1.21903047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05356884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.660827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21903047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.845301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108375 KachelY 101574 2.05356884 -1.21903047 117.660827 -69.845301
    Oben rechts KachelX + 1 108376 KachelY 101574 2.05361678 -1.21903047 117.663574 -69.845301
    Unten links KachelX 108375 KachelY + 1 101575 2.05356884 -1.21904698 117.660827 -69.846247
    Unten rechts KachelX + 1 108376 KachelY + 1 101575 2.05361678 -1.21904698 117.663574 -69.846247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21903047--1.21904698) × R
    1.65099999998031e-05 × 6371000     		dl = 105.185209998745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21903047--1.21904698) × R
    1.65099999998031e-05 × 6371000     		dr = 105.185209998745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05356884-2.05361678) × cos(-1.21903047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34455606966084 × 6371000     		do = 105.236292547584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05356884-2.05361678) × cos(-1.21904698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344540570591511 × 6371000     		du = 105.231558732866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21903047)-sin(-1.21904698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34455606966084-0.344540570591511)×R²
    abs(2.05361678-2.05356884)×1.54990693284063e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54990693284063e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54990693284063e-05×40589641000000     		ar = 11069.0525675789m²