Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108374 / 101516
↖ ↑ ↗
← S 69.790341°
E117.658081°		 ← 105.49 m → S 69.790341°
E117.660827°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
S 69.791289°
E117.658081°		 ← 105.48 m →
11 129 m²		 S 69.791289°
E117.660827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826831817626953 y=0.774509429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826831817626953 × 217)
    floor (0.826831817626953 × 131072)
    floor (108374.5)     		tx = 108374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774509429931641 × 217)
    floor (0.774509429931641 × 131072)
    floor (101516.5)     		ty = 101516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108374 / 101516 ti = "17/108374/101516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108374/101516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108374 ÷ 217
    108374 ÷ 131072     		x = 0.826828002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101516 ÷ 217
    101516 ÷ 131072     		y = 0.774505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826828002929688 × 2 - 1) × π
    0.653656005859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05352091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.54901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72476964832962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05352091} λ = 2.05352091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72476964832962))-π/2
    2×atan(0.178214098960454)-π/2
    2×0.176362547382405-π/2
    0.35272509476481-1.57079632675     		φ = -1.21807123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05352091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.658081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21807123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.790341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108374 KachelY 101516 2.05352091 -1.21807123 117.658081 -69.790341
    Oben rechts KachelX + 1 108375 KachelY 101516 2.05356884 -1.21807123 117.660827 -69.790341
    Unten links KachelX 108374 KachelY + 1 101517 2.05352091 -1.21808779 117.658081 -69.791289
    Unten rechts KachelX + 1 108375 KachelY + 1 101517 2.05356884 -1.21808779 117.660827 -69.791289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21807123--1.21808779) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21807123--1.21808779) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05352091-2.05356884) × cos(-1.21807123) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345456412651177 × 6371000     		do = 105.489271443746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05352091-2.05356884) × cos(-1.21808779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345440872123582 × 6371000     		du = 105.484525956692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21807123)-sin(-1.21808779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345456412651177-0.345440872123582)×R²
    abs(2.05356884-2.05352091)×1.55405275942821e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55405275942821e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55405275942821e-05×40589641000000     		ar = 11129.264443916m²