Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108371 / 101525
↖ ↑ ↗
← S 69.798878°
E117.649842°		 ← 105.45 m → S 69.798878°
E117.652588°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
S 69.799827°
E117.649842°		 ← 105.44 m →
11 125 m²		 S 69.799827°
E117.652588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826808929443359 y=0.774578094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826808929443359 × 217)
    floor (0.826808929443359 × 131072)
    floor (108371.5)     		tx = 108371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774578094482422 × 217)
    floor (0.774578094482422 × 131072)
    floor (101525.5)     		ty = 101525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108371 / 101525 ti = "17/108371/101525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108371/101525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108371 ÷ 217
    108371 ÷ 131072     		x = 0.826805114746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101525 ÷ 217
    101525 ÷ 131072     		y = 0.774574279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826805114746094 × 2 - 1) × π
    0.653610229492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.05337710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774574279785156 × 2 - 1) × π
    -0.549148559570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.7252010804262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05337710} λ = 2.05337710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7252010804262))-π/2
    2×atan(0.178137228261535)-π/2
    2×0.176288041974451-π/2
    0.352576083948903-1.57079632675     		φ = -1.21822024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05337710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.649842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21822024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.798878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108371 KachelY 101525 2.05337710 -1.21822024 117.649842 -69.798878
    Oben rechts KachelX + 1 108372 KachelY 101525 2.05342503 -1.21822024 117.652588 -69.798878
    Unten links KachelX 108371 KachelY + 1 101526 2.05337710 -1.21823680 117.649842 -69.799827
    Unten rechts KachelX + 1 108372 KachelY + 1 101526 2.05342503 -1.21823680 117.652588 -69.799827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21822024--1.21823680) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21822024--1.21823680) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05337710-2.05342503) × cos(-1.21822024) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34531657264744 × 6371000     		do = 105.446569616329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05337710-2.05342503) × cos(-1.21823680) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345301031267587 × 6371000     		du = 105.441823869028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21822024)-sin(-1.21823680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34531657264744-0.345301031267587)×R²
    abs(2.05342503-2.05337710)×1.55413798527682e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55413798527682e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55413798527682e-05×40589641000000     		ar = 11124.7592269216m²