Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108370 / 101514
↖ ↑ ↗
← S 69.788443°
E117.647095°		 ← 105.52 m → S 69.788443°
E117.649842°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
S 69.789392°
E117.647095°		 ← 105.52 m →
11 133 m²		 S 69.789392°
E117.649842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826801300048828 y=0.774494171142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826801300048828 × 217)
    floor (0.826801300048828 × 131072)
    floor (108370.5)     		tx = 108370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774494171142578 × 217)
    floor (0.774494171142578 × 131072)
    floor (101514.5)     		ty = 101514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108370 / 101514 ti = "17/108370/101514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108370/101514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108370 ÷ 217
    108370 ÷ 131072     		x = 0.826797485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101514 ÷ 217
    101514 ÷ 131072     		y = 0.774490356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826797485351562 × 2 - 1) × π
    0.653594970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05332916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774490356445312 × 2 - 1) × π
    -0.548980712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72467377453038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05332916} λ = 2.05332916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72467377453038))-π/2
    2×atan(0.178231185842278)-π/2
    2×0.176379108236677-π/2
    0.352758216473354-1.57079632675     		φ = -1.21803811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05332916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.647095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21803811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.788443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108370 KachelY 101514 2.05332916 -1.21803811 117.647095 -69.788443
    Oben rechts KachelX + 1 108371 KachelY 101514 2.05337710 -1.21803811 117.649842 -69.788443
    Unten links KachelX 108370 KachelY + 1 101515 2.05332916 -1.21805467 117.647095 -69.789392
    Unten rechts KachelX + 1 108371 KachelY + 1 101515 2.05337710 -1.21805467 117.649842 -69.789392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21803811--1.21805467) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21803811--1.21805467) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05332916-2.05337710) × cos(-1.21803811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345487493422154 × 6371000     		do = 105.520773339137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05332916-2.05337710) × cos(-1.21805467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345471953084036 × 6371000     		du = 105.516026919868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21803811)-sin(-1.21805467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345487493422154-0.345471953084036)×R²
    abs(2.05337710-2.05332916)×1.55403381185137e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55403381185137e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55403381185137e-05×40589641000000     		ar = 11132.5879630047m²