Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10837 / 4646
↖ ↑ ↗
← N 82.280906°
W120.470581°		 ← 82.04 m → N 82.280906°
W120.465088°		 →
↑
82.06 m
↓
↑
82.06 m
↓
N 82.280168°
W120.470581°		 ← 82.05 m →
6 732 m²		 N 82.280168°
W120.465088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165367126464844 y=0.0708999633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165367126464844 × 216)
    floor (0.165367126464844 × 65536)
    floor (10837.5)     		tx = 10837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0708999633789062 × 216)
    floor (0.0708999633789062 × 65536)
    floor (4646.5)     		ty = 4646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10837 / 4646 ti = "16/10837/4646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10837/4646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10837 ÷ 216
    10837 ÷ 65536     		x = 0.165359497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4646 ÷ 216
    4646 ÷ 65536     		y = 0.070892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165359497070312 × 2 - 1) × π
    -0.669281005859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10260829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.070892333984375 × 2 - 1) × π
    0.85821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.69616298223044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10260829} λ = -2.10260829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69616298223044))-π/2
    2×atan(14.8227473248297)-π/2
    2×1.5034345224811-π/2
    3.00686904496219-1.57079632675     		φ = 1.43607272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10260829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.470581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43607272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.280906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10837 KachelY 4646 -2.10260829 1.43607272 -120.470581 82.280906
    Oben rechts KachelX + 1 10838 KachelY 4646 -2.10251242 1.43607272 -120.465088 82.280906
    Unten links KachelX 10837 KachelY + 1 4647 -2.10260829 1.43605984 -120.470581 82.280168
    Unten rechts KachelX + 1 10838 KachelY + 1 4647 -2.10251242 1.43605984 -120.465088 82.280168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43607272-1.43605984) × R
    1.28800000001039e-05 × 6371000     		dl = 82.0584800006621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43607272-1.43605984) × R
    1.28800000001039e-05 × 6371000     		dr = 82.0584800006621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10260829--2.10251242) × cos(1.43607272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.13431642747507 × 6371000     		do = 82.0388312118629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10260829--2.10251242) × cos(1.43605984) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134329190751721 × 6371000     		du = 82.0466268651465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43607272)-sin(1.43605984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13431642747507-0.134329190751721)×R²
    abs(-2.10251242--2.10260829)×1.27632766510344e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27632766510344e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27632766510344e-05×40589641000000     		ar = 6732.30164034267m²