Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108368 / 42576
↖ ↑ ↗
← N 53.199452°
E117.641601°		 ← 182.96 m → N 53.199452°
E117.644348°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
N 53.197807°
E117.641601°		 ← 182.97 m →
33 478 m²		 N 53.197807°
E117.644348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826786041259766 y=0.324832916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826786041259766 × 217)
    floor (0.826786041259766 × 131072)
    floor (108368.5)     		tx = 108368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324832916259766 × 217)
    floor (0.324832916259766 × 131072)
    floor (42576.5)     		ty = 42576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108368 / 42576 ti = "17/108368/42576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108368/42576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108368 ÷ 217
    108368 ÷ 131072     		x = 0.8267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42576 ÷ 217
    42576 ÷ 131072     		y = 0.3248291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8267822265625 × 2 - 1) × π
    0.653564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05323328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3248291015625 × 2 - 1) × π
    0.350341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10063121527649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05323328} λ = 2.05323328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10063121527649))-π/2
    2×atan(3.00606289803883)-π/2
    2×1.24965096136841-π/2
    2.49930192273683-1.57079632675     		φ = 0.92850560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05323328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.641601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92850560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.199452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108368 KachelY 42576 2.05323328 0.92850560 117.641601 53.199452
    Oben rechts KachelX + 1 108369 KachelY 42576 2.05328122 0.92850560 117.644348 53.199452
    Unten links KachelX 108368 KachelY + 1 42577 2.05323328 0.92847688 117.641601 53.197807
    Unten rechts KachelX + 1 108369 KachelY + 1 42577 2.05328122 0.92847688 117.644348 53.197807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92850560-0.92847688) × R
    2.87200000000931e-05 × 6371000     		dl = 182.975120000593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92850560-0.92847688) × R
    2.87200000000931e-05 × 6371000     		dr = 182.975120000593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05323328-2.05328122) × cos(0.92850560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599031255130401 × 6371000     		do = 182.959564381211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05323328-2.05328122) × cos(0.92847688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599054251723813 × 6371000     		du = 182.966588132772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92850560)-sin(0.92847688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599031255130401-0.599054251723813)×R²
    abs(2.05328122-2.05323328)×2.29965934122056e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29965934122056e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29965934122056e-05×40589641000000     		ar = 33477.6908361229m²