Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108368 / 101583
↖ ↑ ↗
← S 69.853816°
E117.641601°		 ← 105.19 m → S 69.853816°
E117.644348°		 →
↑
105.19 m
↓
↑
105.19 m
↓
S 69.854762°
E117.641601°		 ← 105.19 m →
11 065 m²		 S 69.854762°
E117.644348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826786041259766 y=0.775020599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826786041259766 × 217)
    floor (0.826786041259766 × 131072)
    floor (108368.5)     		tx = 108368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775020599365234 × 217)
    floor (0.775020599365234 × 131072)
    floor (101583.5)     		ty = 101583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108368 / 101583 ti = "17/108368/101583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108368/101583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108368 ÷ 217
    108368 ÷ 131072     		x = 0.8267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101583 ÷ 217
    101583 ÷ 131072     		y = 0.775016784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8267822265625 × 2 - 1) × π
    0.653564453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05323328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775016784667969 × 2 - 1) × π
    -0.550033569335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.72798142060416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05323328} λ = 2.05323328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72798142060416))-π/2
    2×atan(0.17764263405729)-π/2
    2×0.17580861903505-π/2
    0.351617238070099-1.57079632675     		φ = -1.21917909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05323328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.641601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21917909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.853816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108368 KachelY 101583 2.05323328 -1.21917909 117.641601 -69.853816
    Oben rechts KachelX + 1 108369 KachelY 101583 2.05328122 -1.21917909 117.644348 -69.853816
    Unten links KachelX 108368 KachelY + 1 101584 2.05323328 -1.21919560 117.641601 -69.854762
    Unten rechts KachelX + 1 108369 KachelY + 1 101584 2.05328122 -1.21919560 117.644348 -69.854762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21917909--1.21919560) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dl = 105.18521000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21917909--1.21919560) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dr = 105.18521000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05323328-2.05328122) × cos(-1.21917909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344416546491793 × 6371000     		do = 105.193678580431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05323328-2.05328122) × cos(-1.21919560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344401046577212 × 6371000     		du = 105.18894450755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21917909)-sin(-1.21919560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344416546491793-0.344401046577212)×R²
    abs(2.05328122-2.05323328)×1.54999145812185e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54999145812185e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54999145812185e-05×40589641000000     		ar = 11064.5701951808m²