Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108367 / 101582
↖ ↑ ↗
← S 69.852870°
E117.638855°		 ← 105.18 m → S 69.852870°
E117.641601°		 →
↑
105.19 m
↓
↑
105.19 m
↓
S 69.853816°
E117.638855°		 ← 105.17 m →
11 063 m²		 S 69.853816°
E117.641601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826778411865234 y=0.775012969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826778411865234 × 217)
    floor (0.826778411865234 × 131072)
    floor (108367.5)     		tx = 108367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775012969970703 × 217)
    floor (0.775012969970703 × 131072)
    floor (101582.5)     		ty = 101582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108367 / 101582 ti = "17/108367/101582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108367/101582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108367 ÷ 217
    108367 ÷ 131072     		x = 0.826774597167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101582 ÷ 217
    101582 ÷ 131072     		y = 0.775009155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826774597167969 × 2 - 1) × π
    0.653549194335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.05318535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775009155273438 × 2 - 1) × π
    -0.550018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72793348370454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05318535} λ = 2.05318535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72793348370454))-π/2
    2×atan(0.177651149898517)-π/2
    2×0.175816874351546-π/2
    0.351633748703092-1.57079632675     		φ = -1.21916258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05318535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.638855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21916258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.852870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108367 KachelY 101582 2.05318535 -1.21916258 117.638855 -69.852870
    Oben rechts KachelX + 1 108368 KachelY 101582 2.05323328 -1.21916258 117.641601 -69.852870
    Unten links KachelX 108367 KachelY + 1 101583 2.05318535 -1.21917909 117.638855 -69.853816
    Unten rechts KachelX + 1 108368 KachelY + 1 101583 2.05323328 -1.21917909 117.641601 -69.853816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21916258--1.21917909) × R
    1.65099999998031e-05 × 6371000     		dl = 105.185209998745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21916258--1.21917909) × R
    1.65099999998031e-05 × 6371000     		dr = 105.185209998745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05318535-2.05323328) × cos(-1.21916258) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344432046312493 × 6371000     		do = 105.176468859101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05318535-2.05323328) × cos(-1.21917909) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344416546491793 × 6371000     		du = 105.171735802388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21916258)-sin(-1.21917909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344432046312493-0.344416546491793)×R²
    abs(2.05323328-2.05318535)×1.54998206999268e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54998206999268e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54998206999268e-05×40589641000000     		ar = 11062.7600403328m²