Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108363 / 101517
↖ ↑ ↗
← S 69.791289°
E117.627869°		 ← 105.51 m → S 69.791289°
E117.630615°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
S 69.792238°
E117.627869°		 ← 105.50 m →
11 131 m²		 S 69.792238°
E117.630615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826747894287109 y=0.774517059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826747894287109 × 217)
    floor (0.826747894287109 × 131072)
    floor (108363.5)     		tx = 108363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774517059326172 × 217)
    floor (0.774517059326172 × 131072)
    floor (101517.5)     		ty = 101517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108363 / 101517 ti = "17/108363/101517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108363/101517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108363 ÷ 217
    108363 ÷ 131072     		x = 0.826744079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101517 ÷ 217
    101517 ÷ 131072     		y = 0.774513244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826744079589844 × 2 - 1) × π
    0.653488159179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.05299360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774513244628906 × 2 - 1) × π
    -0.549026489257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.72481758522924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05299360} λ = 2.05299360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72481758522924))-π/2
    2×atan(0.178205556133841)-π/2
    2×0.176354267514002-π/2
    0.352708535028004-1.57079632675     		φ = -1.21808779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05299360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.627869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21808779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.791289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108363 KachelY 101517 2.05299360 -1.21808779 117.627869 -69.791289
    Oben rechts KachelX + 1 108364 KachelY 101517 2.05304154 -1.21808779 117.630615 -69.791289
    Unten links KachelX 108363 KachelY + 1 101518 2.05299360 -1.21810435 117.627869 -69.792238
    Unten rechts KachelX + 1 108364 KachelY + 1 101518 2.05304154 -1.21810435 117.630615 -69.792238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21808779--1.21810435) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21808779--1.21810435) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05299360-2.05304154) × cos(-1.21808779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345440872123582 × 6371000     		do = 105.506533994521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05299360-2.05304154) × cos(-1.21810435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345425331501257 × 6371000     		du = 105.501787488447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21808779)-sin(-1.21810435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345440872123582-0.345425331501257)×R²
    abs(2.05304154-2.05299360)×1.55406223257826e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55406223257826e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55406223257826e-05×40589641000000     		ar = 11131.0856539662m²