Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108362 / 101518
↖ ↑ ↗
← S 69.792238°
E117.625122°		 ← 105.50 m → S 69.792238°
E117.627869°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
S 69.793187°
E117.625122°		 ← 105.50 m →
11 131 m²		 S 69.793187°
E117.627869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826740264892578 y=0.774524688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826740264892578 × 217)
    floor (0.826740264892578 × 131072)
    floor (108362.5)     		tx = 108362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774524688720703 × 217)
    floor (0.774524688720703 × 131072)
    floor (101518.5)     		ty = 101518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108362 / 101518 ti = "17/108362/101518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108362/101518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108362 ÷ 217
    108362 ÷ 131072     		x = 0.826736450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101518 ÷ 217
    101518 ÷ 131072     		y = 0.774520874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826736450195312 × 2 - 1) × π
    0.653472900390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05294566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774520874023438 × 2 - 1) × π
    -0.549041748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72486552212886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05294566} λ = 2.05294566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72486552212886))-π/2
    2×atan(0.178197013716735)-π/2
    2×0.176345988018068-π/2
    0.352691976036136-1.57079632675     		φ = -1.21810435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05294566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.625122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21810435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.792238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108362 KachelY 101518 2.05294566 -1.21810435 117.625122 -69.792238
    Oben rechts KachelX + 1 108363 KachelY 101518 2.05299360 -1.21810435 117.627869 -69.792238
    Unten links KachelX 108362 KachelY + 1 101519 2.05294566 -1.21812091 117.625122 -69.793187
    Unten rechts KachelX + 1 108363 KachelY + 1 101519 2.05299360 -1.21812091 117.627869 -69.793187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21810435--1.21812091) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21810435--1.21812091) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05294566-2.05299360) × cos(-1.21810435) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.345425331501257 × 6371000     		do = 105.501787489425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05294566-2.05299360) × cos(-1.21812091) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.345409790784204 × 6371000     		du = 105.497040954419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21810435)-sin(-1.21812091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345425331501257-0.345409790784204)×R²
    abs(2.05299360-2.05294566)×1.55407170530086e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.55407170530086e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.55407170530086e-05×40589641000000     		ar = 11130.5848785568m²