Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108361 / 99842
↖ ↑ ↗
← S 68.140897°
E117.622376°		 ← 113.69 m → S 68.140897°
E117.625122°		 →
↑
113.72 m
↓
↑
113.72 m
↓
S 68.141920°
E117.622376°		 ← 113.69 m →
12 929 m²		 S 68.141920°
E117.625122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826732635498047 y=0.761737823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826732635498047 × 217)
    floor (0.826732635498047 × 131072)
    floor (108361.5)     		tx = 108361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761737823486328 × 217)
    floor (0.761737823486328 × 131072)
    floor (99842.5)     		ty = 99842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108361 / 99842 ti = "17/108361/99842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108361/99842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108361 ÷ 217
    108361 ÷ 131072     		x = 0.826728820800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99842 ÷ 217
    99842 ÷ 131072     		y = 0.761734008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826728820800781 × 2 - 1) × π
    0.653457641601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.05289773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761734008789062 × 2 - 1) × π
    -0.523468017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64452327836565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05289773} λ = 2.05289773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64452327836565))-π/2
    2×atan(0.19310459799399)-π/2
    2×0.190756659582558-π/2
    0.381513319165115-1.57079632675     		φ = -1.18928301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05289773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.622376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18928301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.140897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108361 KachelY 99842 2.05289773 -1.18928301 117.622376 -68.140897
    Oben rechts KachelX + 1 108362 KachelY 99842 2.05294566 -1.18928301 117.625122 -68.140897
    Unten links KachelX 108361 KachelY + 1 99843 2.05289773 -1.18930086 117.622376 -68.141920
    Unten rechts KachelX + 1 108362 KachelY + 1 99843 2.05294566 -1.18930086 117.625122 -68.141920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18928301--1.18930086) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dl = 113.722349999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18928301--1.18930086) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dr = 113.722349999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05289773-2.05294566) × cos(-1.18928301) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.372325407938873 × 6371000     		do = 113.694042387809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05289773-2.05294566) × cos(-1.18930086) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.372308841254356 × 6371000     		du = 113.688983551394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18928301)-sin(-1.18930086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372325407938873-0.372308841254356)×R²
    abs(2.05294566-2.05289773)×1.65666845169943e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.65666845169943e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.65666845169943e-05×40589641000000     		ar = 12929.2660303016m²