Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108360 / 99816
↖ ↑ ↗
← S 68.114294°
E117.619629°		 ← 113.85 m → S 68.114294°
E117.622376°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
S 68.115317°
E117.619629°		 ← 113.84 m →
12 961 m²		 S 68.115317°
E117.622376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826725006103516 y=0.761539459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826725006103516 × 217)
    floor (0.826725006103516 × 131072)
    floor (108360.5)     		tx = 108360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761539459228516 × 217)
    floor (0.761539459228516 × 131072)
    floor (99816.5)     		ty = 99816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108360 / 99816 ti = "17/108360/99816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108360/99816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108360 ÷ 217
    108360 ÷ 131072     		x = 0.82672119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99816 ÷ 217
    99816 ÷ 131072     		y = 0.76153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82672119140625 × 2 - 1) × π
    0.6534423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05284979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76153564453125 × 2 - 1) × π
    -0.5230712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64327691897552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05284979} λ = 2.05284979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64327691897552))-π/2
    2×atan(0.193345425770781)-π/2
    2×0.190988819459237-π/2
    0.381977638918473-1.57079632675     		φ = -1.18881869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05284979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.619629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18881869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.114294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108360 KachelY 99816 2.05284979 -1.18881869 117.619629 -68.114294
    Oben rechts KachelX + 1 108361 KachelY 99816 2.05289773 -1.18881869 117.622376 -68.114294
    Unten links KachelX 108360 KachelY + 1 99817 2.05284979 -1.18883656 117.619629 -68.115317
    Unten rechts KachelX + 1 108361 KachelY + 1 99817 2.05289773 -1.18883656 117.622376 -68.115317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18881869--1.18883656) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18881869--1.18883656) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05284979-2.05289773) × cos(-1.18881869) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.37275630422576 × 6371000     		do = 113.849370058798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05284979-2.05289773) × cos(-1.18883656) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.372739722070116 × 6371000     		du = 113.844305441639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18881869)-sin(-1.18883656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37275630422576-0.372739722070116)×R²
    abs(2.05289773-2.05284979)×1.65821556439849e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.65821556439849e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.65821556439849e-05×40589641000000     		ar = 12961.4362933552m²