Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108359 / 100101
↖ ↑ ↗
← S 68.404235°
E117.616882°		 ← 112.41 m → S 68.404235°
E117.619629°		 →
↑
112.45 m
↓
↑
112.45 m
↓
S 68.405246°
E117.616882°		 ← 112.41 m →
12 640 m²		 S 68.405246°
E117.619629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826717376708984 y=0.763713836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826717376708984 × 217)
    floor (0.826717376708984 × 131072)
    floor (108359.5)     		tx = 108359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763713836669922 × 217)
    floor (0.763713836669922 × 131072)
    floor (100101.5)     		ty = 100101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108359 / 100101 ti = "17/108359/100101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108359/100101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108359 ÷ 217
    108359 ÷ 131072     		x = 0.826713562011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100101 ÷ 217
    100101 ÷ 131072     		y = 0.763710021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826713562011719 × 2 - 1) × π
    0.653427124023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.05280185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763710021972656 × 2 - 1) × π
    -0.527420043945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.65693893536724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05280185} λ = 2.05280185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65693893536724))-π/2
    2×atan(0.190721899530674)-π/2
    2×0.188458601141626-π/2
    0.376917202283252-1.57079632675     		φ = -1.19387912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05280185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.616882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19387912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.404235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108359 KachelY 100101 2.05280185 -1.19387912 117.616882 -68.404235
    Oben rechts KachelX + 1 108360 KachelY 100101 2.05284979 -1.19387912 117.619629 -68.404235
    Unten links KachelX 108359 KachelY + 1 100102 2.05280185 -1.19389677 117.616882 -68.405246
    Unten rechts KachelX + 1 108360 KachelY + 1 100102 2.05284979 -1.19389677 117.619629 -68.405246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19387912--1.19389677) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dl = 112.448149999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19387912--1.19389677) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dr = 112.448149999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05280185-2.05284979) × cos(-1.19387912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368055830378148 × 6371000     		do = 112.413724354487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05280185-2.05284979) × cos(-1.19389677) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368039419285655 × 6371000     		du = 112.408711984418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19387912)-sin(-1.19389677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368055830378148-0.368039419285655)×R²
    abs(2.05284979-2.05280185)×1.64110924923966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64110924923966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64110924923966e-05×40589641000000     		ar = 12640.43352273m²