Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108357 / 99846
↖ ↑ ↗
← S 68.144987°
E117.611389°		 ← 113.70 m → S 68.144987°
E117.614136°		 →
↑
113.72 m
↓
↑
113.72 m
↓
S 68.146010°
E117.611389°		 ← 113.69 m →
12 930 m²		 S 68.146010°
E117.614136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826702117919922 y=0.761768341064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826702117919922 × 217)
    floor (0.826702117919922 × 131072)
    floor (108357.5)     		tx = 108357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761768341064453 × 217)
    floor (0.761768341064453 × 131072)
    floor (99846.5)     		ty = 99846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108357 / 99846 ti = "17/108357/99846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108357/99846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108357 ÷ 217
    108357 ÷ 131072     		x = 0.826698303222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99846 ÷ 217
    99846 ÷ 131072     		y = 0.761764526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826698303222656 × 2 - 1) × π
    0.653396606445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.05270598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761764526367188 × 2 - 1) × π
    -0.523529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64471502596413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05270598} λ = 2.05270598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64471502596413))-π/2
    2×atan(0.193067574200794)-π/2
    2×0.190720966507053-π/2
    0.381441933014106-1.57079632675     		φ = -1.18935439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05270598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.611389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18935439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.144987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108357 KachelY 99846 2.05270598 -1.18935439 117.611389 -68.144987
    Oben rechts KachelX + 1 108358 KachelY 99846 2.05275392 -1.18935439 117.614136 -68.144987
    Unten links KachelX 108357 KachelY + 1 99847 2.05270598 -1.18937224 117.611389 -68.146010
    Unten rechts KachelX + 1 108358 KachelY + 1 99847 2.05275392 -1.18937224 117.614136 -68.146010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18935439--1.18937224) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dl = 113.722349999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18935439--1.18937224) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dr = 113.722349999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05270598-2.05275392) × cos(-1.18935439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372259159051646 × 6371000     		do = 113.697529125052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05270598-2.05275392) × cos(-1.18937224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37224259189279 × 6371000     		du = 113.692469088299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18935439)-sin(-1.18937224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372259159051646-0.37224259189279)×R²
    abs(2.05275392-2.05270598)×1.65671588563399e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65671588563399e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65671588563399e-05×40589641000000     		ar = 12929.6624820649m²