Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108355 / 99803
↖ ↑ ↗
← S 68.100980°
E117.605896°		 ← 113.92 m → S 68.100980°
E117.608642°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
S 68.102005°
E117.605896°		 ← 113.91 m →
12 976 m²		 S 68.102005°
E117.608642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826686859130859 y=0.761440277099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826686859130859 × 217)
    floor (0.826686859130859 × 131072)
    floor (108355.5)     		tx = 108355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761440277099609 × 217)
    floor (0.761440277099609 × 131072)
    floor (99803.5)     		ty = 99803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108355 / 99803 ti = "17/108355/99803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108355/99803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108355 ÷ 217
    108355 ÷ 131072     		x = 0.826683044433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99803 ÷ 217
    99803 ÷ 131072     		y = 0.761436462402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826683044433594 × 2 - 1) × π
    0.653366088867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.05261010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761436462402344 × 2 - 1) × π
    -0.522872924804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.64265373928046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05261010} λ = 2.05261010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64265373928046))-π/2
    2×atan(0.193465952265185)-π/2
    2×0.191105000127273-π/2
    0.382210000254545-1.57079632675     		φ = -1.18858633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05261010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.605896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18858633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.100980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108355 KachelY 99803 2.05261010 -1.18858633 117.605896 -68.100980
    Oben rechts KachelX + 1 108356 KachelY 99803 2.05265804 -1.18858633 117.608642 -68.100980
    Unten links KachelX 108355 KachelY + 1 99804 2.05261010 -1.18860421 117.605896 -68.102005
    Unten rechts KachelX + 1 108356 KachelY + 1 99804 2.05265804 -1.18860421 117.608642 -68.102005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18858633--1.18860421) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dl = 113.913480000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18858633--1.18860421) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dr = 113.913480000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05261010-2.05265804) × cos(-1.18858633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372971907807166 × 6371000     		do = 113.915220941141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05261010-2.05265804) × cos(-1.18860421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372955317921228 × 6371000     		du = 113.910153962952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18858633)-sin(-1.18860421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372971907807166-0.372955317921228)×R²
    abs(2.05265804-2.05261010)×1.65898859379454e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65898859379454e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65898859379454e-05×40589641000000     		ar = 12976.1906442587m²